<<

. 27
( 31 .)



>>

’ f (3) (x)
s(3) (x) ’ f (3) (x) =
hj
Mj ’ f (xj ) Mj’1 ’ f (xj’1 )
= ’
hj hj
f (xj ) ’ f (x) ’ (f (xj’1 ) ’ f (x))
’ f (3) (x)
+
hj

Taylor-Entwicklung um x ergibt mit der Absch¨tzung (5.28)
a
2 2
3 ∆ L∆
(3) (3)
(5.29) |s (x) ’ f (x)| ¤ L + ¤ 2LK ∆ ,
2 hj 2 hj

da ∆ /hj ¤ K nach Voraussetzung.
Die Behauptung fur i = 2 folgt so:
¨
1
Fur x ∈ [a, b] gibt es xj = xj (x) mit |xj (x) ’ x| ¤ ∆.
¨ 2
Mit x

(f (3) (t) ’ s(3) (t))dt
f (x) ’ s (x) = f (xj (x)) ’ s (xj (x)) +
xj (x)

erhalt man wegen (5.29) und K ≥ 1 :
¨
3
L ∆ 2+ 2
|f (x) ’ s (x)| ¤ LK ∆
4
7
LK ∆ 2
¤ 4

Nun zeigen wir die Behauptung fur i=1:
¨
Es gilt
f (xj ) = s(xj ), j = 0, . . . , n.
Außer ξ0 := a, ξn+1 := b gibt es daher nach dem Satz von Rolle n Punkte
ξj ∈ (xj’1 , xj ) mit

f (ξj ) = s (ξj ), j = 0, . . . , n + 1.

Zu jedem x ∈ [a, b] kann man also ξj (x) w¨hlen mit
a

|ξj (x) ’ x| ¤ ∆.
118 Interpolation




Damit erhalt man
¨

x
7 3
|f (x) ’ s (x)| = (f (t) ’ s (t))dt ¤ LK ∆
4
ξj (x)


Anlalog zum Fall i = 1 ergibt sich schließlich die Behauptung fur i = 0:
¨

x
7 4
|f (x) ’ s(x)| = (f (t) ’ s (t))dt ¤ LK ∆
4
xj (x)




5.5 Numerische Di¬erentiation
Hau¬g werden in Anwendungen Ableitungen benotigt, die nicht mehr oder nur
¨ ¨
sehr aufwendig ™von Hand™ zu berechnen sind. Die Interpolation bietet eine ein-
fache M¨glichkeit auf numerischem Wege die Ableitungen zu approximieren. An-
o
stelle die Funktion selber an einer Stelle x abzuleiten, approximieren wir die
Funktion um x durch geeignete Polynome und leiten dann einfach das so erhal-
tene Polynom an der Stelle x ab. Hierbei nutzen wir die leichte Ableitbarkeit von
Polynomen aus.

Beispiel 5.35. Gesucht sei f (x1 ) an einer Stelle x1 fur eine gegebene Funktion
¨
f : IR ’ IR. Sei h > 0 eine kleine Zahl und x0 = x1 ’ h, x2 = x1 + h. Mittels der
Interpolationsformel nach Lagrange erhalten wir ein Interpolationspolynom vom
Grad 2 mit fi = f (xi ), i = 0, 1, 2, das nach leichter Umformung ubergeht in
¨
(5.30)
f0 (x ’ x1 )(x ’ x2 ) f1 (x ’ x0 )(x ’ x2 ) f2 (x ’ x0 )(x ’ x1 )
f (x) ≈ P (x) = ’2 +
2h2 2h2 2h2
Einmaliges Ableiten ergibt

(f2 ’ 2f1 )(x ’ x0 ) + (f0 + f2 )(x ’ x1 ) + (f0 ’ 2f1 )(x ’ x2 )
f (x) ≈ P (x) =
2h2

Auswerten von P (x) an der Stelle x1 ergibt dann:

f2 ’ f0
(5.31) f (x1 ) ≈ P (x1 ) =
2h
Numerische Di¬erentiation 119




Beispiel 5.36. Soll auch noch die zweite Ableitung f (x1 ) berechnet werden, so
leiten wir (5.30) erneut ab und erhalten:

f2 ’ 2f1 + f0
(5.32) f (x1 ) ≈ P (x1 ) =
h2

Naturlich lassen sich auf diesem Wege eine Reihe weiterer Formeln herleiten. Be-
¨
steht der Bedarf nach h¨heren Ableitungen ist das Interpolationspolynom von
o
entsprechend h¨herem Grad zu w¨hlen. Es ist jedoch zu beachten, dass wir die
o a
Interpolation durch Polynome von h¨herem Grade bereits als numerisch insta-
o
bil festgestellt hatten, so dass damit zu rechnen ist, dass auch die numerische
Di¬erentiation dann instabil werden kann.
120 Interpolation
Kapitel 6

Integration

6.1 Einfuhrung und Aufgabenstellung
¨
Die Integration von Funktionen ist eine elementare mathematische Operation, die
in vielen Formeln ben¨tigt wird. Im Gegensatz zur Ableitung, die fur praktisch
o ¨
alle mathematischen Funktionen explizit analytisch berechnet werden kann, gibt
es viele Funktionen, deren Integrale man nicht explizit angeben kann. Verfahren
zur numerischen Integration (man spricht auch von Quadratur) spielen daher eine
wichtige Rolle, sowohl als eigenst¨ndige Algorithmen als auch als Basis fur andere
a ¨
Anwendungen.

Das Problem l¨ßt sich hierbei sehr leicht beschreiben. Fur eine Funktion f : IR ’
a ¨
IR soll das Integral
b
(6.1) I := f (x) dx
a

auf einem Intervall [a, b] berechnet werden.


6.2 Newton“Cotes“Formeln
Die Stutzstellen xi seien ¨quidistant und enthalten die Randpunkte des Intervalls,
a
¨
d.h.
b’a
(6.2) xi = a + i · h, h= , i = 0, . . . , n.
n
Sei Pn das interpolierende Polynom mit
a) Grad Pn ¤ n,

121
122 Integration




b) Pn (xi ) = fi := f (xi ), i = 0, . . . , n.

Als Approximation fur I nehmen wir den Ausdruck
¨
n
b
(6.3) I ≈ In := Pn (x) dx = ai f (xi ).
a i=0

In der Form von Lagrange lautet Pn :
n n
x ’ xk
Pn (x) = fi Li (x), Li (x) =
xi ’ xk
i=0 k=0
k=i


Damit folgt
n b
In = fi Li (x) dx
a
i=0
=:ai

Die Koe¬zienten in (6.3) ergeben sich daher zu
bn
b
x ’ xk
(6.4) ai = Li (x) dx = dx
xi ’ xk
a a k=0
k=i


Mit der Substitution x = a + s · h, s ∈ [0, n], dx = h · ds erhalten wir die Formeln
von Newton“Cotes:
n
In = ai f (xi ), fi = f (a + i · h)
i=0
(6.5) nn
s’k
ai = h ds =: hAi , Ai ∈ Q
I
i’k
0 k=0
k=i


1
Beispiel 6.1. n = 1 (Trapezregel): Es ist h = b ’ a, A0 = A1 = und damit
2

h
I1 = (f (a) + f (b))
2

Beispiel 6.2. n = 2 (Simpsonregel): Es ist h = b’a , A0 = 1 , A1 = 4 , A2 = 1
2 3 3 3
und damit
h a+b
I2 = f (a) + 4f ( ) + f (b)
3 2
Newton“Cotes Formeln 123




Bemerkung 6.3. Allgemein gilt:
n
Ai = n
i=0

n
(d.h. ai = 1) und Ai = An’i (Symmetrie).
i=0

Die folgende Tabelle enth¨lt die Koe¬zienten Ai fur n ¤ 4:
a ¨
n A0 A1 A2 A3 A4 Bezeichnung
1 1
1 Trapezregel
2 2
1 4 1
2 Simpson“Regel
3 3 3
3 9 9 3
Newton™sche 3 “Regel
3 8 8 8 8 8
14 64 24 64 14
4 Milne“Regel

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