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. 28
( 31 .)



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45 45 45 45 45

Bemerkung 6.4. Fur n ≥ 8 k¨nnen negative Gewichte Ai auftreten und die
o
¨
Formeln werden dann aufgrund von Rundungsfehlerein¬‚uß unbrauchbar.
Es gilt der Fehler
b b
(6.6) Rn (f ) = I ’ In = f (x) dx ’ Pn (x) dx.
a a

O¬ensichtlich ist Rn (f ) = 0, falls f Polynom vom Grade ¤ n ist. Der folgende
Satz gibt eine Absch¨tzung fur den Fehler
a ¨
Satz 6.5 (Fehlerabsch¨tzung).
a
1. Fur f ∈ C n+1 [a, b] gilt
¨

|Rn (f )| ¤ hn+2 cn max f (n+1) (x)
[a,b]

mit
nn
1
cn = |s ’ i| ds.
(n + 1)! 0 i=0

2. Fur n gerade und f ∈ C n+2 [a, b] gilt
¨
n
|Rn (f )| ¤ hn+3 c— max f (n+2) (x) , c— = cn
n n
2
[a,b]


Beweis: Wir beweisen nur den ersten Teil der Aussage: Nach der Restgliedformel
der Polynominterpolation (5.7) existiert ein ξ ∈ [a, b] mit
n
L(x) (n+1)
f (x) ’ Pn (x) = f (ξ), L(x) = (x ’ xi ).
(n + 1)! i=0
124 Integration




Hieraus folgt
b
1
|L(x)| dx · max f (n+1) (x) .
(6.7) |Rn (f )| ¤
(n + 1)! [a,b]
a

Mit der Substitution x = a + s · h, s ∈ [0, n] ergibt sich
bn nn
b
|x ’ xi | dx = hn+2
|L(x)| dx = |s ’ i| ds.
a a i=0 0 i=0

Zusammen mit (6.7) erhalt man die Behauptung.
¨
Da das Maximum hoher Ableitungen von f sehr schwer zu bestimmen ist, sind
die Formeln zur praktischen Fehlerabsch¨tzung i.a. unbrauchbar. Ihr Nutzen liegt
a
in der Information, mit welcher Potenz von h der Fehler abf¨llt.
a

Beispiel 6.6. n = 1 (Trapezregel):

h3
max |f (2) (x)|.
|R1 (f )| ¤
12 [a,b]

Beispiel 6.7. n = 2 (Simpson“Regel):

h5
max |f (4) (x)|.
|R2 (f )| ¤
90 [a,b]
¨
Bemerkung 6.8. Bei geradem n gewinnt man durch den Ubergang zu n+1 keine
Potenz von h.
1
Beispiel 6.9. Es sei I = 0 ex dx = e ’ 1 = 1.7182 . . .
I1 = 1 (1 + e) = 1.8591 . . .
2
I2 = 1 (1 + 4e1/2 + e) = 1.7189 . . .
6
1
I3 = 8 (1 + 3e1/3 + 3e2/3 + e) = 1.7185 . . .


6.3 Zusammengesetzte Newton“Cotes“Formeln
Wie beschrieben kann man hohere Genauigkeiten nicht durch immer hohere Po-
¨ ¨
lynomgrade erwirken. Es tauchen also die gleichen prinzipiellen Probleme auf,
wie bei der Interpolation durch Polynome. Dies ist nicht weiter verwunderlich,
da Interpolationspolynome ja den hier beschriebenen Verfahren zu Grunde lie-
gen. Formeln h¨herer Genauigkeit kann man konstruieren, indem man (¨hnlich
o a
wie bei der Splineinterpolation) die oben angegebenen Regeln auf Teilintervalle
anwendet. Bei der Integration f¨llt jedoch der muhsame Weg der zus¨tzlichen
a a
¨
Zusammengesetzte Newton“Cotes Formeln 125




Glattheitsbedingungen an den Nahtstellen weg, da wir ja nicht an einer schonen
¨
Approximation der Funktion, sondern ™nur™ an einer guten Approximation des
Integrals interessiert sind.
Wir beschr¨nken uns in diesem Abschnitt auf die Herleitung der zusammenge-
a
¨
setzten Trapezregel, eine Ubertragung auf die anderen Newton“Cotes Formeln
verl¨uft analog.
a


6.3.1 Zusammengesetzte Trapezregel
Wir betrachten wieder ¨quidistante Stutzstellen (6.2). Die Anwendung der Tra-
a ¨
pezregel auf das Teilintervall [xi , xi+1 ] ergibt die Approximation
xi+1
h
f (x) dx ≈ (f (xi ) + f (xi+1 )) , i = 0, 1, . . . n ’ 1.
2
xi

Durch Summation erhalten wir die zusammengesetzte Trapezregel:
(6.8)
n’1
b
h
f (x) dx ≈ T (h) := (f (xi ) + f (xi+1 ))
2
a i=0
f (a) f (b)
=h + f (a + h) + . . . + f (b ’ h) + .
2 2

Die zusammengesetzte Trapezregel ist in Abbildung 6.1 dargestellt.

y

f(x)




x
a x1 x2 b

Abbildung 6.1: Zusammengesetzte Trapezregel.

Der Gesamtfehler ergibt sich aus der Summation der Fehler (bzw. aus Beispiel
6.6) zu
b
h3 h2
(2)
max |f (2) (x)|,
T (h) ’ f (x) dx ¤ n · max |f (x)| = (b ’ a) ·
12 [a,b] 12 [a,b]
a

also ein Fehler in der Gr¨ßenordnung O(h2 ).
o
126 Integration




6.3.2 Verfeinerung der zusammengesetzten Trapezregel
Wir wollen in diesem Abschnitt einige weitere Besonderheiten aufweisen, wie aus
unscheinbaren Zusammenhangen numerisches Kapital geschlagen werden kann.
¨
Eine ebenso anschauliche Approximation des Integrals (6.1), welche der Riemann-
schen Summe entspricht, bildet die Mittelpunktsumme

n’1
b
1
(6.9) f (x) dx ≈ M (h) := h f xi+ 1 , xi+ 1 := a + i + h.
2
2 2
a i=0




y

f(x)




x
a x1 x2 b

Abbildung 6.2: Zusammengesetzte Mittelpunktregel.


M (h) stellt die Flache unterhalb der Treppenkurve in Abbildung 6.2 dar und
¨
ist von gleicher Fehlerordnung O(h2 ) wie die zusammengesetzte Trapezregel. Aus
(6.8) und (6.9) folgt unmittelbar die Relation

h 1
(6.10) T = [T (h) + M (h)]
2 2

Bemerkung 6.10. Die Relation (6.10) erlaubt eine Verbesserung der zusammen-
gesetzten Trapezregel durch sukzessive Halbierung der Schrittl¨nge in der Weise,
a
daß zu bereits berechneten N¨herungen T (h) auch noch M (h) berechnet wird.
a
Bei jeder Halbierung der Schrittweite h wird der Rechenaufwand (gemessen mit
der Anzahl der Funktionsauswertungen) etwa verdoppelt, doch werden die schon
berechneten Funktionswerte auf ¨konomische Weise wieder verwendet. Die suk-
o
zessive Halbierung kann etwa dann abgebrochen werden, wenn fur eine gegebene
¨
Fehlerschranke µ > 0 |T (h) ’ M (h)| < µ gilt. Dann ist der Fehler |T ( h ) ’ I| im
2
allgemeinen h¨chstens gleich µ.
o

”””””””””””””””””””””””””-
Zusammengesetzte Newton“Cotes Formeln 127




6.4 Die Gaußsche Integrationsmethode
6.4.1 Orthogonalpolynome
Der Raum V = C[a, b] mit dem inneren Produkt
b
f, g = f (x)g(x)w(x)dx,
(6.11) a
w ∈ C(a, b), w(x) > 0 fur a < x < b,
¨
ist ein sogenannter Pr¨-Hilbertraum. Wendet man das SCHMIDT™sche Orthogo-
a
nalisierungsverfahren auf die Monome un (x) = xn an, so erh¨lt man Orthogonal-
a
polynome mit H¨chstkoe¬zient an = 1 :
o
n’1
˜
pn ∈ Πn := {xn + ak xk } (n = 0, 1, 2, . . .),
˜
k=0
pi , pk
˜˜ = 0 fur i = k, pi , pi = 1 bei Orthonormalpolynomen
˜˜
¨
Die Polynome p0 . . . , pn bilden eine Basis von Πn .
˜ ˜
Daruberhinaus gilt der bemerkenswerte
¨
˜
Satz 6.11 (Nullstellensatz). Das Orthogonalpolynom pn ∈ Πn hat in (a, b)

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