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. 29
( 31 .)



>>

˜
genau n einfache Nullstellen.
Beweis: Seien x1 . . . , xm (m ≥ 0) die Vorzeichenwechsel von pn in (a, b). Wir
˜
zeigen, dass m = n gilt. Mit dem Polynom
m
q(x) = (x ’ xi ) ∈ Πm
i=1

hat das Polynom q · pn kontantes Vorzeichen. Fur m < n wurde folgen
˜ ¨ ¨
b

q, pn =
˜ q(x)˜n (x)w(x)dx = 0,
p
a

also q · pn ≡ 0 in (a, b) : Widerspruch.
˜
Beispiel 6.12. (Legendre“Polynome): Es sei [a, b] = [’1, 1], w = 1.
Man pruft leicht nach, dass die Legendre“Polynome
¨
n! dn (x2 ’ 1)n
˜ = xn + . . . , n ≥ 0
(6.12) Ln (x) = n
(2n)! dx
ein Orthogonalsystem bilden mit
2n + 1 1
˜˜
Ln , Ln = .
2 (2n n!)2
128 Integration




Zum Beispiel ist
1˜ 3
˜ ˜
L1 (x) = x, L2 (x) = x2 ’ , L3 (x) = x3 ’ x.
3 5
Beispiel 6.13. (Tschebychev“Polynome): Es sei [a, b] = [’1, 1], w(x) =

1/ 1 ’ x2 :
Die Tschebychev-Polynome Tn ∈ Πn werden rekursiv de¬niert durch

Tn+1 (x) = 2xTn (x) ’ Tn’1 (x) (n = 1, 2, . . .),
(6.13)
T0 (x) = 1, T1 (x) = x.

Mit der Substitution
x = cos θ, θ = arcos x
gelangt man zur Darstellung

Tn (x) = cos(nθ), θ = arcos x,

denn die Rekursionsformel

cos((n + 1)θ) = 2 cos θ cos(nθ) ’ cos((n ’ 1)θ)

entspricht gerade der Rekursion (6.13). Damit best¨tigt man die Orthogonalit¨t
a a

bzgl. w(x) = 1/ 1 ’ x2 :
1 π
dx
cos(iθ) cos(kθ) sin θ dθ
Ti (x)Tk (x) √1’x2 = sin θ
’1 0
±
0 fur i = k
¨
(6.14) 

= π f ur i = k = 0
¨

π

fur i = k = 0.
¨
2

Die Darstellung Tn (x) = cos(nθ) zeigt, dass Tn (x) die Nullstellen (Tschebychev“
Abszissen)
2k ’ 1 π
xk = cos ∈ (’1, 1), k = 1, . . . , n,
n 2
und die Extremalstellen


(l)
xk = cos (k = 0, 1, . . . , n), n ≥ 1,
n
mit
(l)
Tn (xk ) = (’1)k ,
Zusammengesetzte Newton“Cotes Formeln 129




besitzt. Z.B. liefert die Rekursion (6.13)

T2 (x) = 2x2 ’ 1, T3 (x) = 4x3 ’ 3, . . . ,
Tn (x) = 2n’1 xn ’ · · · .

Zu normierten Polynomen Tn ∈ Πn gelangt man durch die Normierung
1
Tn (x) = Tn (x).
2n’1
Weitere Orthogonalpolynome bzgl. anderer Gewichte w(x) ¬nden sich in M. AB-
RAMOVITZ, F. STEGUN: Handbook of Mathematical Functions.


6.4.2 Gaußintegration
Sei f ∈ C[a, b] und sei w ∈ C[a, b] eine positive Gewichtsfunktion mit w(x) > 0
fur x ∈ (a, b). Wir suchen eine Integrationsformel fur das Integral
¨ ¨
b

(6.15) I(f ) = w(x)f (x)dx.
a

Im folgenden benutzen wir die Bezeichnungen:

Πj : Polynome vom Grade ¤ j (j = 0, 1, 2, . . .)
Πj : = {p ∈ Πj | p(x) = xj + aj’1 xj’1 + . . . + a0 }.

Eine Integrationsformel fur I(f ) der Form
¨
n
(6.16) Gn (f ) = Ai f (xi )
i=1


hat die 2n freien Parameter Ai und xi . Die Formeln von Newton“Cotes (6.5) mit
¨quidistanten Stutzstellen sind exakt in Πn’1 . Wir wollen nun fordern, dass
a ¨

Gn (f ) = I(f ) fur alle f ∈ Π2n’1 ,
¨

d.h. Gn (f ) ist exakt in Π2n’1 . Dies ergibt gerade 2n Bedingungen fur die 2n Pa-
¨
rameter. Der folgende Satz zeigt, dass diese Forderung maximal ist.


Satz 6.14. Es gibt keine Formel Gn (f ) des Typs (6.16), die in Π2n exakt ist.
130 Integration



b
Beweis: Annahme: Gn (f ) = w(x)f (x)dx fur f ∈ Π2n .
¨
a
Mit n
(x ’ xi )2 ∈ Π2n
f :=
i=1

erhalt man einen Widerspruch wegen
¨
b

Gn (f ) = 0 = w(x)f (x)dx > 0.
a



Zur Konstruktion einer in Π2n’1 exakten Formel Gn (f ) benutzt man die zur Ge-
wichtsfunktion w geh¨renden Orthogonalpolynome pn bzgl. des Skalarproduktes
o ˜
(vgl. (6.11))
b

f, g = f (x)g(x)w(x)dx, f, g ∈ C[a, b].
a

Das Polynom pn ∈ Πn hat nach Satz 6.11 n Nullstellen x1 , . . . , xn ∈ (a, b). Damit
˜
gelangen wir zum Hauptresultat dieses Abschnittes.
Satz 6.15. Seien x1 , . . . , xn die Nullstellen des Orthogonalpolynoms pn und sei
˜
n
x ’ xk
Li (x) = , i = 1, . . . , n.
xi ’ xk
k=1
k=i


Dann ist die Integrationsformel
b
n
w(x)Li (x)2 dx
Gn (f ) = Ai f (xi ), Ai :=
i=1 a

exakt in Π2n’1 und es gilt
Ai > 0.
Beweis: Nach der Interpolationsformel von Lagrange gilt
n
f (x) = Li (x)f (xi ) fur alle f ∈ Πn’1 .
¨
i=1

Daher ist
b
n
Gn (f ) = w(x)Li (x)dx f (xi )
i=1 a
Zusammengesetzte Newton“Cotes Formeln 131




exakt in Πn’1 . Ein Polynom f ∈ Π2n’1 faktorisieren wir in

f = q · pn + r
˜ mit q, r ∈ Πn’1
b
b b
’ I(f ) = w(x)f (x)dx = w(x)q(x)˜n (x)dx + w(x)r(x)dx
p
a a
a

=0, (da q∈Πn’1 )
= Gn (r) (da r ∈ Πn’1 )
= Gn (r) + Gn (q · pn )
˜
=0, (da pn (xi )=0, i=1,...,n)
˜

= Gn (r + q · pn )
˜
= Gn (f ).

Also ist Gn (f ) exakt in Π2n’1 und die Formeln fur die Gewichte Ai folgen so:
¨
Es ist L2 ∈ Π2n’2 , also
i

b n n
2
Gn (L2 ) 2
w(x)Li (x) dx = = Ak Li (xk ) = Ak δik = Ai .
i
k=1 k=1
a




Beispiel 6.16. Sei [a, b] = [’1, 1], w(x) ≡ 1,

n! dn 2
(x ’ 1)n ,
pn (x) =
˜ n = 0, 1, 2, . . . ,
n
(2n)! dx

Legendre-Polynome bis auf Normierungsfaktoren:

1 3
p2 (x) = x2 ’ , p3 (x) = x3 ’ x

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