<<

. 3
( 31 .)



>>

10 10 10 60
11 11 1
I9 = ’ I10 > ’ I9 =’ I9 >
50 5 50 5 60
Werten wir nun die Ruckw¨rtsrekursion
a
¨
1 1
(1.2) In’1 = ’ In
5n 5
aus, so erhalten wir:
1
I9 = 60
I8 = 0.01888...
.
.
.
I3 = 0.04313...
I2 = 0.05803...
I1 = 0.08839...
I0 = 0.182321556... alle Stellen richtig!
Bei der Vorw¨rtsberechnung in (1.1) wird ein Fehler, den wir in In z.B. durch
a
Rundung erhalten haben, mit dem Faktor 5 multipliziert und geht so verst¨rkt in
a
In+1 ein. In der Ruckw¨rtsberechnung (1.2) hingegen, reduziert sich der Fehler
a
¨
1
um den Faktor 5 , so dass die Genauigkeit der L¨sung mit jedem weiteren Schritt
o
w¨chst.
a
Eine detailliertere Kl¨rung der Situation werden wir sp¨ter angeben.
a a


1.6 Vorl¨u¬ges Fazit
a
Viele Probleme der Mathematik lassen sich nicht analytisch l¨sen (es gibt kei-
o
ne explizite Darstellung der L¨sung) oder nur sehr schwer l¨sen (z.B. zu kom-
o o
plex), w¨hrend eine L¨sungsberechnung mit numerischen Verfahren jedoch h¨u¬g
a o a
m¨glich ist.
o
Bei numerischen Verfahren k¨nnen weitere Fehler auftreten, die bei der Ana-
o
lyse der berechneten L¨sung zu beachten sind. Hierbei bedeutet Fehler nicht, daß
o
16 Einleitung




man etwas falsch gemacht hat. Vielmehr konnen unvermeidbare Abweichungen
¨
vom exakten, d.h. realit¨tsgenauen Ergebnis, auftreten.
a

Beispiel 1.3. Wir kommen zuruck auf unser Scherwindproblem, die L¨sung des
o
¨
Problems kann nur noch numerisch berechnet werden, da eine analytische L¨sung
o
nicht existiert. Ihr L¨sungsansatz fuhrt auf ein Anfangswertproblem mit einer
o ¨
gew¨hnlichen Di¬erentialgleichung. Es k¨nnen verschiedenen Fehler auftreten:
o o
Modellfehler: Die Modellierung ist ungenau, z.B. sind die Windbedingungen
nicht beliebig genau modellierbar.
Datenfehler: Parameter des DGL“Systems oder Anfangswerte sind nur unge-
nau angebbar.
Verfahrensfehler: Das numerische Verfahren zur L¨sung der DGL berechnet
o
nur eine gen¨herte L¨sung.
a o
Rundungsfehler: Der Computer kann nicht mit beliebig vielen Nachkommastel-
len rechnen (ein Computer hat nur endlich vielen Speicher), z.B. wird π in der
Regel mit nur 16 oder 32 Nachkommastellen berucksichtigt.
¨

Verfahrensfehler und Rundungsfehler sind Fehler, die aufgrund des L¨sungs-
o
ansatzes durch Numerik auftreten, sie sind innerhalb dieser Vorlesung genauer zu
analysieren.

Bemerkung 1.4. Numerik ist somit nicht nur die Entwicklung von Algorithmen
oder Verfahren. Auch die Analyse und die E¬zienz der Verfahren sind wesentliche
Bestandteile.
Kapitel 2

Fehleranalyse

Wie bereits festgestellt, konnen bei der Anwendung mathematischer/numerischer
¨
Methoden Fehler z.B. bei der Modellbildung, bei den Eingabeparametern, bei der
Approximation oder durch Rundung auftreten. Die beiden letztgenannten wollen
wir genauer untersuchen. Hierzu ist es erforderlich die Struktur der Zahlendar-
stellung auf einem Computer zu untersuchen.


2.1 Maschinenzahlen
Die mit einer bestimmten Codierung darstellbaren Zahlen bezeichnen wir als
Menge der Maschinenzahlen. Gebr¨uchlichste Codierungsform ist dabei die soge-
a
nannte Gleitpunkt-Darstellung: Die Zahl
x = VM (d1 p’1 +d2 p’2 +. . .+dl p’l )·pE mit E = VE (e1 pn’1 +e2 pn’2 +. . .+en’1 p+en )
wird codiert durch
VM d1 d2 . . . dl | VE e1 e2 . . . en
Mantisse Exponent

Dabei ist
p ∈ IN, p > 1, p fest Basis
d» ∈ {0, 1, . . . , p ’ 1}, » = 1, . . . , l Zi¬ern der Mantisse
ev ∈ {0, 1, . . . , p ’ 1}, v = 1, . . . , n Zi¬ern des Exponenten
VM , VE ∈ {+, ’} Vorzeichen der Mantisse bzw. des Exponenten
Beispiel 2.1. p = 10, l = 4, n = 3

’ +4711| + 004 ’ 0.4711 · 104
x = 4711
’ ’1750| + 002 ’ ’0.1750 · 102
x = ’17.5
x = 0.008008 ’ +8008| ’ 002 ’ 0.8008 · 10’2

17
18 Fehleranalyse




Bemerkung 2.2. Fordert man d1 = 0 fur x = 0 (normalisierte Gleitpunkt-
¨
Darstellung), dann ist fur jede Maschinenzahl x = 0 die Gleitpunktdarstellung
¨
eindeutig; lediglich beim Exponenten 0 bleibt VE unbestimmt.
De¬nition 2.3 (Gleitpunktzahl). Sei

p > 1, p ∈ IN Basis; z. B.: p = 2, 10, 16
D, E ∈ Z
I Mantisse, Exponent
l > 0.

Dann lautet die Menge der l-stelligen, normalisierten Gleitpunktzahlen zur Basis
p:
G = {DpE’l |D = 0 ∨ pl’1 ¤ |D| < pl }
I
Beispiel 2.4. 4-stellige, normalisierte Zahlen zur Basis 10:

G = {D · 10E’4 |D = 0 ∨ 103 ¤ |D| < 104 }
I

Die ubliche Schreibweise lautet:
¨

DpE’l = ± d1 d2 . . . , . . . dl’1 dl 0 . . . 0
|E| Stellen l ’ |E| Stellen
vor Komma nach Komma

Bezeichnungen:
IM(p, l, n) oder IM: Menge der Maschinenzahlen

O¬ensichtlich ist diese Menge endlich und somit gilt: IM = IR.


Bemerkung 2.5.

1. Die Wahl der Basis p wird durch die Rechnerkonstruktion bestimmt.

Dualsystem: p = 2 mit Zi¬ern 0, 1
Hexadezimalsystem: p = 16 mit Zi¬ern 0, 1, . . . , 9, A, . . . , F

2. Der Exponent ist in der Praxis durch den Speicherplatz eingeschr¨nkt.
a
Beispiel 2.6. Typische Situation auf PC™s fur PASCAL, FORTRAN: real*4:
¨
1 Real“Zahl ben¨tigt 4 Byte Speicherplatz:
o
1 Byte fur Vorzeichen, Exponent
¨
3 Byte fur Mantisse
¨
Es stellt sich als n¨chstes die Frage, welche Zahlen sich uberhaupt damit darstellen
a ¨
lassen (1 Byte = 8 Bit, 1 Bit ist entweder 0 oder 1).
Fehleranalyse 19




i) Stellenzahl:
3 Byte = 24 Bit fur die Mantisse, also 24-stellige Dualzahlen:
¨

224 = 10l =’ l = log10 224 = 24 log10 2 ≈ 24 · 0.3010 ≈ 7.2 . . .

d.h. 7-stellige Mantisse im 10er System

ii) Exponentenbereich
2 Bit fur die beiden Vorzeichen, d.h. 6 Bit fur den Exponenten: ± ¤ E ¤ β
¨ ¨
mit β = ’± = 63 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + ·1 · 20

Allgemein erkennen wir, dass es E1 und E2 gibt mit

IM = {g ∈ G|E1 ¤ E ¤ E2 }
I

O¬ensichtlich gibt es eine kleinste positive Maschinenzahl xmin und eine großte
¨
Maschinenzahl xmax .

Beispiel 2.7. Aufgrund der Fulle verschiedenener Parametersetzungen gab es
¨
1983 einen Standardisierungsversuch (IEEE) fur p = 2:
¨

einfache Genauigkeit (32 Bits): l = 23; 8 Bit fur E
¨
doppelte Genauigkeit (64 Bits): l = 52; 11 Bit fur E
¨
Register (80 Bits) l = 64; 15 Bit fur E
¨

Bemerkung 2.8. Integer“Zahlen werden in vergleichbarer Weise codiert.


2.2 Maschinenzahlen auf der Zahlengerade
Wie festgestellt, existieren in IM eine kleinste positive Maschinenzahl xmin und
eine gr¨ßte Maschinenzahl xmax . Die Maschinenzahlen dazwischen sind jedoch
o
nicht gleichmaßig verteilt:
¨
Verteilung auf der Zahlengeraden:

a) Innerhalb jeden Intervalls [pk’1 , pk ) liegen die Maschinenzahlen in gleichen
Abst¨nden:
a
a · pk mit a = p’l = . 00 . . . 01 ·p0
l

hierbei bezeichnet a die Einheit der letzten Mantissenstelle beim Expon-
denten 0.
20 Fehleranalyse




b) Die Maschinenzahlen sind nicht auf IR©[xmin , xmax ] gleichabstandig verteilt.
¨
Der relative Abstand
xi+1 ’ xi
, xi = 0
xi
zweier aufeinanderfolgender Maschinenzahlen variiert h¨chstens um einen
o
Faktor ρ.
Beispiel 2.9. IM(2, 3, 2)
Verfugbare positive Mantissen Verfugbare Exponenten
¨ ¨
+100 = 1/2 00 = 0
+101 = 5/8 ± 01 =± 1
+110 = 3/4 ± 10 =± 2
+111 = 7/8 ± 11 =± 3
x min x max


0 2’4 2’3 2’2 ’1
2 0 =1

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. 3
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