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. 30
( 31 .)



>>

p1 (x) = x,
˜ ˜ ˜
3 5
n x1 x2 x3 A1 A2 A3
1 0 2
1 1
2 ’ + 1 1
3 3
3 3 5 8 5
3 ’ 0
5 5 9 9 9

1

ex dx = 2.350402.
I=
’1
132 Integration




Die Simpson-Regel liefert
I2 = 2.362054.
Dagegen ist mit gleich vielen Funktionsauswertungen

G3 = 2.350337.

Fur den Fehler der Gauß™schen Integrationsmethode gilt die folgende Absch¨tzung:
a
¨
(vgl. Stoer I, S. 126).

Satz 6.17. Sei f ∈ C 2n [a, b] und sei Gn (f ) die in Satz 6.15 de¬nierte Integrati-
onsformel, dann gilt

f (2n) (ξ)
I(f ) ’ Gn (f ) = pn , pn
(2n)!

mit einem ξ ∈ (a, b).

Die Gauß-Formeln liefern im Vergleich zu den Newton-Cotes-Formeln bzw. den
Extrapolationsverfahren die genauesten Resultate (gemessen an der Zahl der
Funktionsauswertungen). Im Gegensatz zu Extrapolationsverfahren konnen je-
¨
¨
doch beim Ubergang von einem Index n zu n + 1 die bis dahin berechneten
Funktionswerte f (xi ) nicht weiter verwendet werden. Daher sind in der Praxis
Extrapolationsverfahren vorzuziehen.


6.5 Integration und Extrapolation
6.5.1 Euler-Maclaurin™sche Summenformel
Durch Anwendung der Extrapolation auf die zusammengesetzte Trapezregel woll-
ten wir nun Formeln konstruieren, deren Fehler mit einer hohen Potenz von h
abf¨llt. Grundlage dieser Extrapolationsverfahren ist die folgende asymptotische
a
Entwicklung von T (h) nach Potenzen von h2 .

Satz 6.18 (Euler-Maclaurin™sche Summenformel). Fur f ∈ C 2m+2 [a, b] gilt
¨
die Entwicklung

T (h) = „0 + „1 h2 + „2 h4 + . . . + „m h2m + ±m+1 (h)h2m+2

mit
b
1. „0 = f (x)dx,
a
Zusammengesetzte Newton“Cotes Formeln 133



(’1)k+1 Bk
(f (2k’1) (b) ’ f (2k’1) (a)),
2. „k = k = 1, . . . , m
(2k)!

b
1 x’a
f (2m+2) (x)K2m+2
3. ±m+1 (h) = dx
(2m+2)! h
a
mit K2m+2 ∈ C[0, n] und
b
x’a
dx = (’1)m Bm+1 (b ’ a).
K2m+2
h
a

Hierbei sind Bk die Bernoulli-Zahlen
1 1 1
B1 = , B2 = , B3 = ,....
6 30 42
Beweis: Zum Beweis vergleiche man etwa Stoer 1.

6.5.2 Anwendung der Extrapolation auf die Integration
Nach dem vorigen Satz gilt

T (h) = „0 + „1 h2 + . . . + „m h2m +±m+1 (h)h2m+2 .
Polynom vom Grade m in h2

Es interessiert die Gr¨ße
o
b

„0 = f (x)dx = lim T (h).
h’0
a

Idee der Extrapolation: Zu m + 1 Schrittweiten
h0 h0
h0 = b ’ a, h1 = , . . . , hm = ; ni < ni+1 (ni ∈ IN)
n1 nm
bestimme man Trapezsummen

Ti0 := T (hi ), i = 0, . . . , m,

und dann durch Interpolation dasjenige Polynom in h2
˜
Tmm (h) := a0 + a1 h2 + . . . + am h2m
(6.17)

mit
˜
Tmm (hi ) = T (hi ), i = 0, . . . , m.
Dann ist
˜
Tmm (0) = a0 ≈ „0 (Extrapolation).
134 Integration



b’a
Beispiel 6.19. h0 = b ’ a, h1 = . Dann ist
2

˜
T11 := T11 (0) = L0 (0)T (h0 ) + L1 (0)T (h1 )

mit
1
x ’ xk
x i = h2 ,
Li (x) = , i = 0, 1.
i
x i ’ xk
k=0
k=i


Fur x = 0 erh¨lt man
a
¨
’h2 ’h2
1 4
L0 (0) = 2 1 2 = ’ , L1 (0) = 2 0 2 =
h0 ’ h1 3 h1 ’ h0 3

und daher
1 b’a 4 b’a f (a) a+b f (b)
T11 = ’ (f (a) + f (b)) + + f( )+
32 32 2 2 2
=T (h0 ) =T (h1 )
h1 a+b
= f (a) + 4f ( ) + f (b)
3 2

und dies ist die Simpson-Regel!
˜
Die Berechnung des Wertes Tmm (0) = a0 in (6.17) erfolgt mit dem Algorithmus von
˜
Neville; vgl. (5.5). Dazu sei 1 ¤ k ¤ i ¤ m und Tik (h) dasjenige Polynom in h2
mit
˜
Tik (hj ) = Tj0 := T (hj ) fur j = i ’ k, i ’ k + 1, . . . , i.
¨
˜
Die Rekursion fur Tik := Tik (0) ergibt sich aus dem Algorithmus von Neville mit
¨
xi = h2 , x = 0, zu
i

Ti,k’1 ’ Ti’1,k’1
Tik = Ti,k’1 + , 1 ¤ k ¤ i ¤ m.
2
hi’k
’1
hi


Die Berechnung des Tableaus mit den Gr¨ßen Tik erfolgt spaltenweise, z. B.
o

h0 T00

h1 T10 T11

h2 T20 ’ T21 T22

h3 T30 T31 T32 ’ T33
Zusammengesetzte Newton“Cotes Formeln 135



1
ex dx = 1.718281828,
Beispiel 6.20. I = m=3
0

hi Ti0 Ti1 Ti2 T33
1 1.859140914
1
1.753931092 1.718861151
2
1
1.727221904 1.718318841 1.718282687
4
1
1.720518792 1.718284155 1.718281842 1.718281828
8


In der Praxis haben sich zwei Schrittweitenfolgen bew¨hrt:
a
h0
Romberg-Folge: h0 = b ’ a, hi = , i = 0, 1, . . .
2i
h0 h0 h0
Bulirsch-Folge: h0 = b ’ a, h1 = , h2 = , h3 = ,
2 3 4
h0 h0
h4 = , h5 = ,...
6 8

Bemerkung 6.21. Die Bulirsch-Folge hat den Vorteil, dass bei ihr die Rechenar-
beit fur die Berechnung neuer T (hi ) nicht so rasch ansteigt wie bei der Romberg-
¨
Folge. Bei der praktischen Durchfuhrung beachte man, dass bei der Berechnung
¨
von T (hi+1 ) auf die schon bei T (hi ) berechneten Funktionswerte zuruckgegri¬en
¨
wird, vgl. etwa die Verfeinerung der zusammengesetzten Trapezregel mittels der
Mittelpunktsumme.


6.5.3 Integrationsfehler
Im folgenden soll ein Ausdruck fur den Fehler
¨
b

Tmm ’ f (x)dx
a

angegeben werden.

Hilfssatz 6.22. Seien xi , i = 0, . . . , m, paarweise verschiedene Zahlen und sei
m
x ’ xk
Li (x) = , i = 0, . . . , m.
xi ’ xk
k=0
k=i



Dann gilt ±

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( 31 .)



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