<<

. 31
( 31 .)



1 , j=0


m
j
xi Li (0) = 0 , j = 1, . . . , m



i=0
(’1)m x0 . . . xm , j =m+1
136 Integration




Beweis: Man setze x = 0 in den beiden folgenden Identitaten ein:
¨
m
xj Li (x),
xj ≡ j = 0, . . . , m,
i
i=0
m
xm+1 Li (x) + (x ’ x0 )(x ’ x1 ) . . . (x ’ xm ).
xm+1 ≡ i
i=0

Die zweite Identit¨t folgt daraus, dass die rechte Seite gleich der linken Seite in
a
den Punkten xi , i = 0, . . . , m, ist und die Koe¬zieten von xm+1 auf beiden Seiten
ubereinstimmen; vgl. auch die Restgliedformel (5.7).
¨
Die Substitution x = h2 , xi = h2 , in Hilfssatz 6.22 ergibt die Beziehung
i

± 
1 , j=0 
 
m
h2j Li (0) = 0 , j = 1, . . . , m
(6.18) .
i
 
 (’1)m h2 h2 . . . h2 , j = m + 1 
i=0
01 m


˜
Das Polynom Tmm (h) in (6.17) interpolierte die Werte T (hi ), i = 0, . . . , m. Also
gilt nach der Formel von Lagrange
m
˜
(6.19) Tmm = Tmm (0) = Li (0)T (hi ).
i=0

Die asymptotische Entwicklung in Satz 6.18) von T (h) ergab
b

f (x)dx + „1 h2 + . . . + „m h2m + ±m+1 (h)h2m+2 ,
T (h) =
a

b
1 x’a
f (2m+2) (x)K2m+2 (
±m+1 (h) = )dx,
(2m + 2)! h
a


b
x’a
)dx = (’1)m Bm+1 (b ’ a).
(6.20) K2m+2 (
h
a

Mit (6.18),(6.19) folgt dann
b b
1
f (2m+2) (x)K(x)dx,
(6.21) Tmm = f (x)dx +
(2m + 2)!
a a
Zusammengesetzte Newton“Cotes Formeln 137


m
x’a
Li (0)h2m+2 K2m+2
(6.22) K(x) := .
i
hi
i=0

Man kann zeigen: Die Funktion K(x) hat gleiches Vorzeichen in [a, b] fur die
¨
Romberg-Folge und die Bulirsch-Folge hi . Daher gilt
b b

f (2m+2) (x)K(x)dx = f (2m+2) (ξ) K(x)dx, ξ ∈ [a, b],
a a

und mit (6.18),(6.20) und (6.22) haben wir
b b
m
Li (0)h2m+2 K2m+2 ( x’a )dx
K(x)dx = i hi
i=0
a a

= (’1)m h2 h2 . . . h2 (’1)m Bm+1 (b ’ a)
01 m

= (b ’ a)h2 . . . h2 Bm+1
0 m

Insgesamt ergibt sich dann aus (6.21) und den vorigen Beziehungen der Fehler

b
Bm+1
f (x)dx = (b ’ a)h2 . . . h2 (2m+2)! f (2m+2) (ξ) .
(6.23) Tmm ’ 0 m
a


Bei Interpolation mit den Schrittweiten hi’k , . . . , hi erh¨lt man auf ¨hnliche Weise
a a
b
Bk+1
f (x)dx = (b ’ a)h2 . . . h2 f (2k+2) (ξ).
(6.24) Tik ’ i’k i
(2k + 2)!
a

Fur k = 0 gewinnt man hieraus die Absch¨tzung fur den Gesamtfehler der zu-
a
¨ ¨
1
sammengesetzten Trapezregel zuruck wegen B1 = 6 .
¨
Wegen (6.24) verhalt sich der Fehler von Tim in der (i + 1)-ten Spalte des Table-
¨
2m+2
aus wie hi’m , also wie der Fehler eines Verfahrens (2m + 2)-ter Ordnung. Aus
Grunden der Ausl¨schung geht man in der der Praxis nicht uber m = 6 hinaus.
o
¨ ¨
Man beendet die Rechnung, falls das erste Mal

|Ti,6 ’ Ti+1,6 | ¤ · s

erfullt ist, wobei
¨
: gewunschte realtive Genauigkeit,
¨
b
s : grober N¨herungswert von
a |f (x)|dx.
a
138 Integration
Literaturverzeichnis

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¨ ¨
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a

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