стр. 1
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

№ 11, 2004 г.




Б.А.Тpубников, О.Б.Трубникова



Пять
великих распределений
вероятностей

© “Природа”

Использование и распространение этого материала
в коммерческих целях
возможно лишь с разрешения редакции




Сетевая образовательная библиотека “VIVOS VOCO!”
(грант РФФИ 03-07-90415)


vivovoco.nns.ru
vivovoco.rsl.ru
www.ibmh.msk.su/vivovoco
________11-04.qxd 22.10.04 18:23 Page 13




СТАТИСТИКА




Пять великих распределений
вероятностей



Б.А.Тpубников, О.Б.Трубникова


«К
ажется, дождь собира
ется, кажется, дождь Борис Андреевич Трубников , д о к т о р ф и з и
собирается», — п р и ко математических наук, профессор, глав
говаривал Пятачок, стараясь ный научный сотрудник Института ядеpно
отогнать пчел от улья, куда хо го синтеза РНЦ «Куpчатовский институт».
тел добраться Винни Пух, что Область научных интересов — теория плаз
бы полакомиться медом. Так мы, гидродинамика, происхождение кос
Пятачок хотел передать пчелам мических лучей. Неоднократно публико
информацию о том, что вероят вался в журнале «Природа».
ность дождя велика. С понятием
вероятности, хотя бы на быто
вом уровне, сталкивались все
читатели нашего журнала, на
Оксана Борисовна Трубникова , младший
пример играя в «орла» и «реш
научный сотрудник лаборатории экспери
ку». Однако теория вероятнос
ментальной эмбриологии им.Д.П.Филатова
т е й — весьма точная наука,
Института биологии развития РАН
имеющая несколько замеча
им.Н.К.Кольцова. Изучает временны е зави
тельных достижений, с которы
симости процессов деления клеток.
м и м ы и хотим познакомить
читателей.



Азбука теории
Основные положения тео
рии вероятностей достаточно
просты. Если могут случиться
два неких события «1» и «2» с ве
роятностями w(1) и w(2), при — вероятность того, что произойдет либо первое, либо второе
чем эти события независимы событие, равна сумме w(1 + 2) = w(1) + w(2);
(«в о г о р о д е б у з и н а , а в К и е в е — вероятность того, что произойдет какое либо одно событие из
дядька»), то выполняются следу полного набора N всех возможных независимых событий, равная
ющие соотношения: сумме всех вероятностей W N = w(1) + w (2) + w(3) + … + w(N ), состав
— вероятность того, что ляет единицу (или 100%, если вероятности исчисляются в процен
произойдут оба независимых тах).
события, равна произведению В качестве примера используем эти простые формулы для ана
w 1,2 = w ( 1 ) w ( 2 ) ; л и з а д в и ж е н и я м о л е к у л г а з а . П у с т ь w ( E 1) е с т ь в е р о я т н о с т ь т о г о , ч т о
м о л е к у л а о б л а д а е т п о л н о й э н е р г и е й E 1 , и w (E 2 ) е с т ь в е р о я т н о с т ь т о
г о , ч т о д р у г а я м о л е к у л а о б л а д а е т э н е р г и е й E 2. Т о г д а п р о и з в е д е н и е
© Тpубников Б.А., Трубникова О.Б.,
w ( E 1 ) w ( E 2) = = w ( E 1 + E 2 ) б у д е т в е р о я т н о с т ь ю т о г о , ч т о и м е ю т м е с т о
2004


ПРИРОДА • №11 • 2004 13
________11-04.qxd 22.10.04 18:23 Page 14




СТАТИСТИКА


лить на постой в K квартир. Спрашивается: каким
числом способов C это может сделать начальник
квартирмейстер (теперь их называют «риэлтера
ми», т.е. реализаторами квартирных возможнос
тей).
Для наглядности можно изображать людей N
точками в круге доме, разделенном перегородка
ми на K секторов. При расчете вероятностей воз
можны три разных варианта.
Одного человека можно поселить в одну из K
Рис.1. Пример нормированного на единицу распределения к в а р т и р , о ч е в и д н о , K с п о с о б а м и , а N ч е л о в е к — KN
Гаусса с параметрами B = 4 и <x> = 0.5. способами. Но среди этих способов есть тождест
венные, отличающиеся лишь перестановками лю
дей; их мы считаем равноправными. Число таких
сразу оба события. п е р е с т а н о в о к р а в н о ф а к т о р и а л у N!, и е с л и и х и с
Решением этого функционального уравнения, к л ю ч и т ь , т о в с е г о п о л у ч а е т с я C 1 = K N/N ! с п о с о б о в
к о т о р о е и м е е т в и д F (x + y) = F ( x ) F( y ) , я в л я е т с я размещения.
экспонента Теперь усложним задачу, считая, что это не
просто поход гусар, а штабные учения, на кото
w (E ) = e x p ( a – b E ), (1)
рые съехались N генералов и их надо разместить
где a и b — постоянные, и полученную формулу по K квартирам. Но генералы не могут жить вмес
называют распределением Максвелла—Больцма те, и к а ж д о м у г е н е р а л у н у ж н а о т д е л ь н а я к в а р т и р а .
на. Если пренебречь потенциальной энергией, Для такой возможности число квартир K должно
обусловленной силой тяжести, то полная энергия превышать число людей N , так что K – N квартир
молекулы сводится к ее кинетической энергии останутся пустыми. Нетрудно сообразить, что
E к и н = m v 2 / 2 , и т о г д а ф о р м у л а w = a e x p ( – ?v 2 ) , г д е в этом случае число возможных способов рассе
? = b m /2, описывает распределение молекул по ления будет равно биномиальному коэффициенту
скоростям. C 2 = K! / ( K – N ) !N ! , п о с к о л ь к у K ! — э т о ч и с л о п е р е
Для простоты рассмотрим случай, когда моле становок квартир, N! — число перестановок гене
кулы газа движутся вдоль оси x со средней скоро р а л о в , а ( K – N) ! — ч и с л о п е р е с т а н о в о к п у с т ы х
с т ь ю т е ч е н и я < v > . Т о г д а ч и с л о м о л е к у л d N, у ко квартир.
торых скорость v заключена в интервале от v до Наконец, рассмотрим вариант, когда квартир
v + dv, будет равно мало, и гусары согласились на то, что в одну квар
тиру квартирмейстер может поселить сколько
d N = a e x p [ – ?( v – < v > ) 2]d v , (2)
угодно людей. Возвращаясь к наглядному образу
где a — множитель нормировки. круга, в котором есть K секторов с K перегородка
Забыв про молекулы, запишем сходную общую ми между ними и N точек (людей), всего имеем
формулу вида N + K «субъектов и объектов». Полное число воз
можных перестановок и тех и других, очевидно,
d N = A e x p [ – B (x – < x > ) 2 ]d x , (3)
р а в н о ф а к т о р и а л у ( K + N) ! . Н о , в о п е р в ы х , с р е д и
г д е A, B — п о с т о я н н ы е . н и х е с т ь K! в з а и м н ы х п е р е с т а н о в о к т о л ь к о п е р е
Эту функцию (рис. 1) называют распределени городок, и, во вторых, N ! взаимных перестановок
ем вероятностей Гаусса , и она имеет много раз только людей не меняют общую схему расселе
личных применений. ния. И если исключить такие перестановки,
Если, например, мы много раз измерим как то число возможных способов расселения в э т о м
м о ж н о т о ч н е е н е к у ю в е л и ч и н у x , то н а й д е м , ч т о третьем случае будет равно дроби C3 = (K +
в среднем она равна < x>. Но каждый раз наблюда + N )!/K !N !.
ется некоторое отклонение x – < x > от среднего Полезно отметить: если число квартир значи
значения, и тогда d N — это число попыток, тельно превышает число людей ( K >>N ), послед
при которых измеренное значение лежит в и н ние два варианта сводятся к первому. Это легко
тервале от x до x + dx. увидеть, если во втором случае приближенно по
л о ж и т ь K ! ? (K – N ) !K N, а в т р е т ь е м — (K + N )! ?
А теперь займемся решением квартирного во
проса, который, по словам Булгакова, так испор K !K N, ч т о и п р и в е д е т к п е р в о м у с л у ч а ю р а с с е л е н и я
тил москвичей. гусар.
П о я с н и м т а к ж е , ч т о о т л и ч и е ч и с е л C 2,3 о т C 1
здесь получено в результате простой игры в пере
становки N точек и K перегородок в круге. На са
В село въехали гусары… мом деле и сама игра, и три варианта понадоби
Предположим, что полк гусар, участвуя в мане лись нам, чтобы учесть фундаментальное свойст
врах, въехал в большое село, и N гусар надо посе во тождественности элементарных частиц мате

ПРИРОДА • №11 • 2004
14
________11-04.qxd 22.10.04 18:23 Page 15




СТАТИСТИКА


буквой ? (от англ. excellent — превосходный), по
рии — фермионов и бозонов. Это чисто квантовое
свойство трудно передать на «языке гусар», по лагая, для конкретности, что оно характеризует
скольку никакой квартирмейстер не будет учиты бытовые удобства в данной квартире (в первую
вать число возможных перестановок пустых квар очередь число комнат, а также наличие телефона,
тир, а для наших дальнейших целей их важно при ванны, холодильника, кондиционера и пр. — п р и
нять во внимание. сутствие каждого из перечисленных удобств до
б а в л я е т л и ш н и й б а л л к к а ч е с т в у ?) . Р а з у м н о с ч и
тать, что введенное выше среднее число людей
в о д н о й к в а р т и р е з а в и с и т о т а р г у м е н т а ?, т а к ч т о
Формула Стирлинга n = N /K = n( ?) ( п о с к о л ь к у х о р о ш и е к в а р т и р ы д о
и квазиэнтропия рого стоят и доступны немногим).
Будем считать числа N и K большими и для Ранее мы рассматривали примеры с опреде
факториалов использовать известную прибли л е н н ы м н а б о р о м л ю д е й и к в а р т и р ( N m, K m) . Э т у с о
женную формулу Стирлинга. Она получается, ес вокупность назовем малым набором и, присвоив
ли сначала записать логарифм факториала в виде ему индекс m , запишем его квазиэнтропию в виде
суммы lnM ! = ln1 + ln2 +… + ln M , а затем заменить S m = –K ml nf (m) . Д а л е е р а с с м о т р и м б о л ь ш о й н а б о р ,
сумму на интеграл, что приближенно дает M! ? состоящий из множества малых m наборов. Оче
? ( M /e ) M , г д е e = 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 … — о с н о в а н и е н а т у в и д н о , в б о л ь ш о м н а б о р е т е п е р ь б у д е т N = ?N m =
= ?n mK m л ю д е й ( ч а с т и ц ) , и м ы б у д е м с ч и т а т ь ф и к
ральных логарифмов.
Тогда найденные выше три числа Ci (i = 1,2,3) сированным их полное число N.
можно записать в виде приближенных единооб Большой набор необходимо ввести в рассмот
разных формул рение по той причине, что теперь мы условились
учитывать не только количество, но и качество
к в а р т и р ?m ( ч и с л о и х б ы т о в ы х у д о б с т в ) . И с у м м а р
nn
n
C i ? f i –K, f 1 = ( ) n, f 2 = n n( 1 – n) 1 –n, f 3 = .
ное число бытовых удобств по всему большому
(4)
н а б о р у E = ?? mN m = ?? mn mK m м ы т а к ж е б у д е м с ч и
( n + 1 ) n+ 1
e
тать заданным. В статистической физике частиц
качеству ?m к в а р т и р ы с о о т в е т с т в у е т э н е р г и я m
З д е с ь м ы в в е л и а р г у м е н т n = N /K , к о т о р ы й в о в с е х
трех случаях означает среднее число людей (час состояния, а nm приобретает смысл среднего чис
тиц), приходящихся на одну квартиру (состо ла частиц в m состоянии. Таким образом, задание
яние). фиксированного полного числа бытовых удобств
Поскольку числа Ci велики, удобнее опериро соответствует в физике частиц постоянству их
вать с их натуральными логарифмами Si = ln Ci = суммарной полной энергии.
= – K ln f i. В с т а т и с т и ч е с к о й ф и з и к е л о г а р и ф м ч и с Далее замечаем, что число способов C реализа
ла способов распределения частиц по состояни ции большого набора равно произведению чисел
ям («квартирам») принято называть энтропией способов реализации всех малых наборов. Поэто
(от греч. entropia — переворот, перестановка, му наша логарифмическая квазиэнтропия S = lnC
п р е в р а щ е н и е — в в е д е н о Р . К л а у з и у с о м в 1 8 6 5 г.). большого набора равна сумме квазиэнтропий
Мы здесь условимся вместо термина «энтропия» всех малых наборов:
применять более общий термин «квазиэнтро
S = ?S m = –?K ml n f ( m). (5)
пия», т.е. логарифм большого числа способов
распределения множества каких либо объектов И мы хотели бы найти максимум этой величины
(или субъектов) по каким либо определенным при двух дополнительных ограничительных усло
признакам. Например, слов по частоте их встре виях — при постоянстве полного числа людей
чаемости в тексте и пр. (частиц) и постоянстве суммарного числа всех
Очевидно, что для свободы выбора квартир бытовых удобств (в физике — полной энергии
мейстер риэлтер хотел бы иметь в своем распоря большого набора), т.е. при условиях
N = ?n mK m = c o n s t , E = ?? mn mK m = c o n s t .
жении как можно большее число способов разме (6)
щения людей по квартирам, максимальную «ква
зиэнтропию». Распределение, для которого число
способов реализации максимально, действитель Путем Лагранжа —
но самое интересное — оно будет наиболее веро
к трем распределениям
ятным. Но при поиске максимума Ci следует учи
тывать ряд ограничений. Максимум некоторой функции при двух до
полнительных условиях можно найти, пользуясь
так называемым методом неопределенных мно
жителей Лагранжа. Для этого составляем комби
Не числом единым нацию (здесь i = 1,2,3)
Далее будем считать, что квартиры различают
? = S + |? | N – | ?| E = –?K m(ln f i + ? mn m), (7)
ся своим качеством, которое будем обозначать

ПРИРОДА • №11 • 2004 15
________11-04.qxd 22.10.04 18:23 Page 16




СТАТИСТИКА


тические закономерности, свойственные боль
шим множествам.
Поэтому в качестве большого множества рас

стр. 1
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>