<< Предыдущая

стр. 2
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

смотрим некую страну с населением N человек,
проживающих в K городах разного типа. Предпо
ложим, что в некотором городке проживает m л ю
д е й и в с т р а н е и м е е т с я nm г о р о д к о в с т а к и м ж е
числом жителей. Тогда, очевидно, имеют место
выражения с суммами
K = ?n m = c o n s t , N = ?m n m = c o n s t . (10)
Эти суммы весьма похожи на два дополнительных
условия (6), встречавшихся в трех ранее рассмот
ренных распределениях квартир по их качеству
(или же элементарных частиц материи, где требо
валось сохранение полного числа частиц N и их
Рис.2 . Распределения: n 1 (s) — Максвелла—
с у м м а р н о й э н е р г и и E ).
Больцмана; n 2(s ) — Ферми—Дирака и n 3 (s) —
Бозе—Эйнштейна. Сравнение пар уравнений (10) и (6) показыва
ет, что показателем качества ?m города следует
считать просто число его жителей m . И если лю
г д е д л я к р а т к о с т и о б о з н а ч е н о ? m = |?| ? m – | ?| . И д а дей не расселяет по городам начальник квартир
лее по рецепту Лагранжа решаем уравнения мейстер, то сами люди, как правило, стремятся пе
– ? ?/? n m = 0 . О п у с к а я д л я п р о с т о т ы и н д е к с m , з а ребраться из мелких городов в более крупные, где
пишем эти уравнения в виде больше возможностей найти работу и дать детям
хорошее образование.
( l n f i ) ? = –?, ( i = 1 , 2 , 3 ) , (8)
n
Лишенные разума молекулы газа как бы сами
где штрих означает производную по n. Нетрудно (но под «руководством» теории вероятностей)
проверить (предоставим это читателю), что под «стремятся» создать наиболее хаотическое рас
ставляя сюда три выражения (4) для трех функций пределение по энергиям с наибольшим числом
f 1 , 2 , 3(n ) и в ы ч и с л я я п р о и з в о д н ы е и х л о г а р и ф м о в , возможных способов C его воплощения и, тем са
найдем три распределения (рис.2) мым, с наибольшей энтропией S = ln C. Таким же
правилом руководствуется и квартирмейстер ри
1 1 1 элтер, стремящийся иметь как можно более высо
n1 = ,n = ,n = , (9)
e? 2 e? + 1 3 e? – 1 кую квазиэнтропию, т.е. логарифм числа возмож
ных способов расселения N людей по K кварти
г д е ? = |? |? – | ?|, |? | > 0 и |? | > 0 — п о л о ж и т е л ь н ы е рам с учетом показателя их качества.
параметры и ? — качество квартиры. И н а о б о р о т , р а з у м н о с ч и т а т ь , ч т о N = ?m n m л ю
д е й , р а с с е л я я с ь п о K = ?n m р а з н ы м г о р о д а м , в о т
В квантовой статистической физике величина
nm и н т е р п р е т и р у е т с я к а к с р е д н е е ч и с л о ч а с т и ц г а личие от «глупых» молекул сами (как бы даже бес
з а в m с о с т о я н и и , о б л а д а ю щ е м э н е р г и е й ? m, а к о м сознательно, поскольку не знают наших формул)
б и н а ц и я ? з а п и с ы в а е т с я в в и д е ? = ( ? – µ) /k T , где стремятся создать наименее хаотическое, но наи
µ — химический потенциал газа, k — постоянная более удобное для них распределение по городам.
Больцмана и T — температура в градусах Кельвина. Число возможных способов его реализации
Формулу для n1 называют распределением д о л ж н о и м е т ь в и д д р о б и C = k 0 /k 1 k 2, г д е ч и с л и т е л ь ,
Максвелла—Больцмана, для n 2 — распределением очевидно, равен k0 = N ! — числу всех возможных
Ф е р м и — Д и р а к а д л я ф е р м и о н о в , а д л я n3 — р а с взаимных перестановок местами проживания
пределением Бозе—Эйнштейна для бозонов. Име всех людей страны. При этом, однако, надо ис
ются в виду распределения газов из классических ключить случаи, когда m жителей одного города
ч а с т и ц ( n 1) и к в а н т о в ы х ф е р м и ( n 2 ) и л и б о з е ч а меняются местами, не покидая этот город. Число
с т и ц (n 3 ) п о с о с т о я н и я м с р а з н ы м и э н е р г и я м и ?. т а к и х п е р е с т а н о в о к р а в н о ф а к т о р и а л у m !, а по
При больших энергиях и температурах все три с к о л ь к у ч и с л о г о р о д о в с m ж и т е л я м и р а в н о n m, ра
распределения совпадают (рис.2). зумно считать, что первый множитель в знамена
т е л е р а в е н п р о и з в е д е н и ю k 1 = ?(m ! ) n .m



Второй множитель k2 в знаменателе можно по
лучить из следующих, столь же очевидных сооб
Какие города лучше? ражений. Выше мы уже заметили, что показателем
Штабные учения с несколькими десятками ге престижности города служит само число m его
нералов и даже полк гусар в несколько сотен са ж и т е л е й . Д а л е е з а м е ч а е м , ч т о m nm е с т ь ч и с л о ж и
бель — все же не слишком большие множества, телей всех городов m ого типа, т.е. городов с на
и в них могут не проявиться характерные статис селением m . Число взаимных перестановок таких

ПРИРОДА • №11 • 2004
16
________11-04.qxd 22.10.04 18:23 Page 17




СТАТИСТИКА


г д е ? = a + b m н е з а в и с и т о т n m. И т о г д а н е т р у д н о
жителей городов m ого типа, очевидно, равно
ф а к т о р и а л у (m n m)!, а д л я в с е х г о р о д о в с р а з н ы м и проверить (предоставим это читателю), что урав
нения Лагранжа ?? = 0 приводят к с о о т н о ш е н и ю
m число перестановок всех жителей страны рав n m

н о п р о и з в е д е н и ю ф а к т о р и а л о в k 2 = ?( m nm)!. ln( m n m) = b + l n N + ( a /m ) . И з н е г о м ы с р а з у п о л у
2


Ему и следует приравнять второй множитель чим для числа городов с населением m
в знаменателе, чтобы исключить перестановки
людей, живущих в равноценных городах и, следо A a
nm = 2 exp , (15)
m m
вательно, не имеющих причин, желания и време
ни заниматься переездами именно такого рода.
Таким образом, для обсуждаемой здесь проблемы где A = Ne b — постоянная нормировки. Часто
«кто где живет» число возможных способов рас представляет интерес так называемый интеграль
п р е д е л е н и я N = ?m n m л ю д е й п о K = ?n m г о р о д а м ный спектр, т.е. число городов с населением боль
следует считать равным ше данного:

k0 N! A a a
mmax
N ( m ) = ?m
С= = . (11) n md m = a ( e x p m – e x p m ). (16)
k 1k 2 ?[( m !) n ( m n m)!]
m
max




Мы пришли к так называемому распределению
конкурентов, характерному для объектов, кото
Конкурентная борьба рые соревнуются между собой за обладание не
к и м о г р а н и ч е н н ы м р е с у р с о м [ 1 ] . В п р е д е л е a >0
Если число городов ограничено, люди явно на
чинают конкурировать друг с другом, и их можно это распределение переходит в чисто гиперболи
назвать конкурентами по проблеме переездов ческое
в более крупные города. Используя формулу
Стирлинга, перепишем формулу (11) для числа 1 1
N (m ) = A(m – m ). (17)
способов в приближенном виде max



( N /e ) N
С? , (12) В качестве иллюстрации формулы (17) на рис. 3
?(m 2 n m/e 2) m nm


приведены распределения городов США по их на
селенности, выявленные за 140 лет общего роста
и далее найдем квазиэнтропию, т.е. логарифм это населения страны. С хорошей точностью они сле
го числа способов дуют гиперболическому закону с зависящим от
в р е м е н и t к о э ф ф и ц и е н т о м N ( m ) = A ( t )/ m .
S ? ?m n m( 1 + l n N – 2 l n m – ln n m). (13)
Для некоторых других множеств «конкурен
При этом мы учли, что число людей выражается
ф о р м у л о й N = ?m n n.
Как уже пояснялось ранее, в отличие от пове
дения «глупых» молекул с максимальной хаотиза
цией их энергетических состояний, у сообщества
всех разумных живых существ — не только людей,
но и ж и в о т н ы х и даже бактерий океанского
планктона — можно ожидать стремления к мини
муму такой квазиэнтропии. По видимому, это
можно рассматривать как закон жизни сообществ
живых существ — биоценозов: их организация не
может быть хаотической, а должна быть макси
мально упорядоченной и построенной по строго
иерархическим, но естественным принципам.
С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся в к и
бернетике, где информация рассматривается как
отрицательная энтропия и считается, что полный
хаос лишен информации.
Минимум квазиэнтропии (экстремум, как
и максимум) должен достигаться при выполнении
двух дополнительных условий (10). Поэтому по
рецепту Лагранжа вновь составляем комбинацию
с неопределенными множителями a и b:
Рис.3. Интегральные спектры распределения числа
? = S + aK + bN =
городов США по числу их жителей с 1790 по 1930 г.
= ?n m[m ( 1 + l n N – 2 l n m – l n n m) + ?], (14)
через каждые 10 лет.

ПРИРОДА • №11 • 2004 17
________11-04.qxd 22.10.04 18:23 Page 18




СТАТИСТИКА




Рис.4. Три примера интегральных спектров общего Рис.5. Интегральный спектр распределения слов
распределения конкурентов, построенных по формуле по частоте их встречаемости в тексте из 1 056 382 слов.
(16). Выбрана нормировка A = 10 4 . Параметр a 1 — в, 2 — 4, 3 — не, 4 — на, 5 — а, 6 — как, 7 — каждый,
определяет левый конец спектра, параметр mm a x — 8 — огромный, 9 — красота.
правый конец. Показаны
варианты a = 5 (1); 0.1 (2); –5 (3) и завал
правого конца при mm a x = 10 3 . 5.


тов» истинные (наблюдаемые) интегральные спе тов, хотя попытки теоретического обоснования
ктры могут несколько отличаться от чисто гипер распределения конкурентов также предпринима
болических. В этих случаях для сравнения наблю лись и ранее. Краткий обзор этих усилий приве
даемых спектров с предсказываемыми «теорией ден, в частности, в [3]. Но, по нашему мнению,
конкурентов» следует пользоваться полной фор многие из этих попыток не были столь последова
м у л о й ( 1 6 ) , с о д е р ж а щ е й т р и п а р а м е т р а A , a и m m a x. тельны, как изложенный выше подход, основан
Подбором параметра a можно подправить левый ный, по существу, на полной аналогии с термоди
конец спектра, а п о д б о р о м п а р а м е т р а m max — п р а намикой частиц, достигнутой путем введения об
вый конец, как это показано на рис. 4. щего понятия качества и квазиэнтропии мно
Формулы (15—16) применимы не только к го жеств конкурентов. Ряд примеров множеств кон
родам, но и к другим множествам «конкурентов», курентов приведен в наших работах [1, 3, 4], где
частные случаи которых рассматривались и ранее рассмотрено около 20 примеров таких распреде
многими авторами. Так, гиперболическое распре лений.
деление слов по частоте их встречаемости в текс Отметим, что такие множества должны состо
те обычно называют законом Эсту—Ципфа—Ман ять из достаточно большого числа объектов,
д е л ь б р о т а ( р и с .5 ) . Р а с п р е д е л е н и е б о г а ч е й п о и х и (следуя А.В.Бялко [5]) их удобно называть «ши
богатствам в древних государствах (да и в совре рокими распределениями», в отличие от сравни
менных) принято называть законом Парето. Рас тельно «узких» распределений гауссовского типа.
пределение ученых по числу опубликованных В них по существу отсутствует понятие среднего
ими статей — законом Альфреда Лотки. Чтобы не значения, вокруг которого группировалась бы ос
замыкаться на человеческой деятельности, про новная масса объектов. Этим свойством множест
иллюстрируем указанную зависимость картинка ва конкурентов резко отличаются от множеств,
ми для океанического биоценоза (рис. 6) и малых подчиняющихся нормальному распределению
Гаусса n m ˜ e x p [ – a (m – < m > ) 2 ]. В ч и с т о г и п е р б о л и
космических тел (рис.7). Около 500 различных
ческом распределении (при a > 0) полная «масса»
примеров гиперболических распределений при
M = ? m n md m =
ведено в книге [2]. Поэтому распределение конку множества равна интегралу
рентов вполне заслуженно можно поставить = A l n (m m a x/m m i n) . К а к в и д и м , о н а о д и н а к о в ы м л о г а
в один ряд с четырьмя великими распределения рифмическим образом определяется и верхним,
ми. Обычно обсуждаются лишь эмпирические за и нижним пределами спектра. Эта слабая лога
кономерности конкретных множеств конкурен рифмическая зависимость от обоих пределов ука

ПРИРОДА • №11 • 2004
18
________11-04.qxd 22.10.04 18:23 Page 19




СТАТИСТИКА




Рис. 6. Распределение обитателей Мирового океана по размерам (данные канадских ученых). По вертикальной оси
указана концентрация «живого вещества» с размерами из данного интервала (размер оценивается по диаметру шара,
равного по объему рассматриваемой особи). Все организмы распределены так, что на каждый десятичный интервал
приходится практически одинаковый суммарный вес. Это соответствует гиперболическому распределению (17).




сумма всех финансов и число владельцев; число
всех выбранных для анализа ученых и массив ста
тей; число всех рыб (на кубометр воды) и число
рыб с определенным весом в стандартных лога
рифмических интервалах; число всех космичес
ких тел, отобранных для анализа (число видов тел
здесь не учитывалось, что соответствует пределу
a > 0 в формулах).



Во что играет природа?
Конечно, к формуле (16), содержащей три па
раметра, можно относиться и просто как к удоб
ной аппроксимационной формуле (как говорит
ся — не более того). Однако полезно подчеркнуть,
что и все четыре «главных» для неживой природы
распределения также содержат по три параметра.
Для распределения Гаусса — это коэффициент
н о р м и р о в к и , с р е д н е е з н а ч е н и е < x > и 1 /? — с р е д
неквадратичное отклонение (полуширина кривой
Рис. 7. Интегральный спектр распределения малых Г а у с с а ) . Д л я р а с п р е д е л е н и й n1,2,3 — э т о п а р а м е т р ы
?, ? и к о э ф ф и ц и е н т н о р м и р о в к и .
космических тел по их массам, различающимся
Заметим также, что все три главных для физи
на 30 порядков. N — число данных тел в 1 см 3 .
к и ч а с т и ц р а с п р е д е л е н и я n 1 , 2 , 3, в с у щ н о с т и , п о л у
чаются из «игры в перестановки» всего лишь
с д в у м я ч и с л а м и N и K, т о ч н е е с о с л а г а ю щ и м и и х
зывает на устойчивость таких распределений. По ч а с т я м и n m, к о м б и н и р у е м ы м и т р е м я р а з н ы м и
добное свойство оказывается особенно важным способами. Образно можно сказать, что именно
для различных социально экономических про простота и естественность их трех комбинаций

<< Предыдущая

стр. 2
(из 3 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>