<<

. 13
( 20 .)



>>


A11 + A21 + A31 3
·Á = A = ‘ Ak ( k = 1, 2, 3).
;
A k =1

Îïòè¬à«üí³ §íà·åííÿ ±®ö³à«üí®¿ ê®°è±í®±ò³ âè°®áíèöòâà (4.27) ³
(4.28) ï®ò°³áí® âè§íà·àòè °à§®¬ § â°àµóâàííÿ¬ ï°è°®¤í®¿ “â³ê®â®¿”
¿µ §¬³íè âí౫³¤®ê íàóê®â®-òåµí³·í®ã® ³ ±®ö³à«üí®ã® °®§âèòêó âè°®á-
íèöòâà.

Ê°èòå°³¿ ±ïà¤ó
³ ê°è§®âèµ ±òàí³â âè°®áíèöòâà
Χíàê®þ ⳤ±óòí®±ò³ ·è íàÿâí®±ò³ ê°è§®âèµ ÿâèù â åê®í®¬³ö³ º
íàï°ÿ¬®ê øâè¤ê®±ò³ â ï°®öå±³ ⳤòâ®°åííÿ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â:
dAk >
Vk = < 0 (k = 1, 2,3),
dt
¤å Àê — âà°ò³±òü âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â.
Çà ¤®¤àòí®¿ øâè¤ê®±ò³ ⳤòâ®°åííÿ k-ã® âè°®áí跮㮠å«å¬åíòà
ê°è§è íå¬àº, à §à ⳤ’º¬í®¿ º. ’®¬ó ê°è§³ §à⦤è ïå°å¤óº ±ïठâè°®á-
íèöòâà, àá® §¬åíøåííÿ øâè¤ê®±òå© §°®±òàííÿ ïåâíèµ âè°®áíè·èµ
å«å¬åíò³â. Ï°è öü®¬ó §¬³íþþòü±ÿ § ¤®¤àòíèµ íà ⳤ’º¬í³ §íàêè ï°è-
±ê®°åíü:

d 2 Ak dAk
wk = < 0 (k = 1, 2,3); Vk = > 0,
(4.29)
dt 2 dt
à ï®ò³¬ ³ øâè¤ê®±òå© §°®±òàííÿ âà°ò³±í®¿ âå«è·èíè âè°®áíè·èµ å«å-
¬åíò³â.
78
dAk
Vk =
< 0 (k = 1, 2,3). (4.30)
dt
ßêù® ó¬®âè (4.29), (4.30) âèê®íóþòü±ÿ íå ¤«ÿ â±³µ, à «èøå ¤«ÿ ¤åÿ-
êèµ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â, ò® ±ïठ·è ê°è§à íå º §àãà«üíè¬è. “¬®â®þ
§àãà«üí®ã® ±ïà¤ó ·è åê®í®¬³·í®¿ ê°è§è º
3 3
‘ wk < 0 (k = 1, 2,3); ‘ Vk > 0; (4.31)
k =1 k =1
3
‘ Vk < 0 (k = 1, 2,3). (4.32)
k =1

Çà«å¦í® ⳤ ±ï®«ó·åííÿ ó¬®â (4.29), (4.32) ¬®¦íà ê«à±èô³êóâàòè
ê°è§®â³ ±òàíè âè°®áíè·®¿ ±è±òå¬è:
1. ‘ïठ·è ê°è§à ó ⳤòâ®°åíí³ ®ê°å¬èµ ·à±òèí âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â.
“ öü®¬ó âèïà¤êó ó ⳤòâ®°åíí³ ê®¦í®ã® âè°®áí跮㮠å«å¬åíòà
(°®á®·®¿ ±è«è, §íà°ÿ¤ü ï°àö³ òà ï°å¤¬åòà ï°àö³) §à íàÿâí®±ò³ íåãà-
òèâíèµ ïå°åâà¦àþòü ﮧèòèâí³ ï°®öå±è.

d 2 Akl > 3
wkl = 0; wk > 0; wk = ‘ wkl > 0 (k , l = 1, 2,3);
<
dt 2 l =1
3
Vkl > 0; Vk > 0; Vk = ‘ Vkl > 0 ( k , l = 1, 2,3),
<
l =1

¤å Àêl — âà°ò³±òü l-µ ·à±òèí k-µ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â.
2. ‘ïठ·è ê°è§à ó ⳤòâ®°åíí³ ®ê°å¬èµ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â:
3
wk > 0; ‘ wk > 0 (k = 1, 2,3);
<
k =1
3
> ‘ Vk > 0 (k = 1, 2,3).
Vk < 0;
k =1

“ öü®¬ó âèïà¤êó íåãàòèâí³ ï°®öå±è ïå°åâà¦àþòü ò³«üêè ó ⳤ-
òâ®°åíí³ ¤åÿêèµ ³§ ò°ü®µ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â. Çàãà«®¬ §áå°³ãà-
ºòü±ÿ ïå°åâàãà ﮧèòèâíèµ ï°®öå±³â.
3. ‘ïठ·è ê°è§à ó ⳤòâ®°åíí³ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â â ö³«®¬ó:
3
‘ wk < 0; wk > 0 ( k = 1, 2,3);
<
k =1
3
>
‘ Vk < 0; Vk < 0 (k = 1, 2,3).
k =1
79
“ öü®¬ó âèïà¤êó ﮧèòèâí³ ï°®öå±è §áå°³ãàþòü±ÿ «èøå ó
ⳤòâ®°åíí³ ¤åÿêèµ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â. Çàãà«®¬ ïå°åâà¦àþòü
íåãàòèâí³ ï°®öå±è, ò®áò® ¬àº ¬³±öå §àãà«üíè© ±ïठ·è §àãà«üíà
ê°è§à âè°®áíèöòâà. Íà©ã³°øè¬ âà°³àíò®¬ º §àãà«üíè© ±ïà¤, àá®
§àãà«üíà åê®í®¬³·íà ê°è§à, ꮫè

wkl < 0; Vkl < 0 (k , l = 1, 2,3).

“ öü®¬ó °à§³ íåãàòèâí³ ï°®öå±è ¬àþòü ¬³±öå ó ⳤòâ®°åíí³ â±³µ ¤å-
â’ÿòè ·à±òèí âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â.
Çàïèòàííÿ. Çàâ¤àííÿ
1. “ ·®¬ó ⳤ¬³íí³±òü àí૳òè·í®ã® ¬åò®¤ó âè§íà·åííÿ åê®í®¬³·íèµ
ï®êà§íèê³â ⳤ å¬ï³°è·í®ã®?
2. ßêà ±è±òå¬à ï®êà§íèê³â º ï®âí®þ?
3. εà°àêòå°è§ó©òå ï®êà§íèêè âèò°àò ï°àö³.
4. ßê³ ï®êà§íèêè âè§íà·àþòü ï°®öå± ïå°åíå±åííÿ âà°ò®±ò³ íà âè°®á-
«åíè© ï°®¤óêò?
5. ßêè¬è ï®êà§íèêà¬è µà°àêòå°è§óþòü±ÿ ¤³º§¤àòí³±òü ³ ¦èòòº§¤àò-
í³±òü âè°®áíèöòâà?
6. Ï°®àí૳§ó©òå ï®êà§íèêè åê®í®¬³·í®¿ ïàò®«®ã³¿ âè°®áíèöòâà.
7. ™® º ê°èòå°³º¬ ê°è§®â®ã® ±òàíó âè°®áíèöòâà?
8. ßêè¬è ï®êà§íèêà¬è µà°àêòå°è§óºòü±ÿ ±®ö³à«üí®-åê®í®¬³·íà ê®-
°è±í³±òü âè°®áíèöòâà?




80
Ю§¤³« 5

Ì΄…ËÜ ‘ÀÌÎЅÓËÞ‚ÀÍÍß
’À “ÏÐÀ‚˲ÍÍß …ÊÎÍÎ̲ÊÎÞ
‚ÈÐÎÁÍÈ–’‚À


5.1. Ìàòå¬àòè·íà ¬®¤å«ü óï°à⫳ííÿ
°®§âèòꮬ ±ó±ï³«üí®ã® âè°®áíèöòâà
Ï®±òàí®âêà §à¤à·³ óï°à⫳ííÿ ⳤòâ®°åííÿ¬
‚èµ®¤ÿ·è § ¬®¤å«³ ê°ó㮮᮰®òó âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â, §à¤à·ó
óï°à⫳ííÿ ⳤòâ®°åííÿ¬ ¤«ÿ âè°®áíè·®¿ ±è±òå¬è §àãà«®¬ ¬®¦íà
±ô®°¬ó«þâàòè òàê:
‚³¤òâ®°åííÿ â±³µ ò°ü®µ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â (°®á®·®¿ ±è«è, §íà-
°ÿ¤ü ³ ï°å¤¬åòà ï°àö³) íà §à¤àí®¬ó ï°®¬³¦êó ·à±ó ï®âèííå ﳤﮰÿ¤ê®-
âóâàòè±ÿ ¤®±ÿãíåííþ íàïå°å¤ §à¤àí®ã® (ï°®åêò®âàí®ã®) °å§ó«üòàòó.
Ï°®åêò®âàíè¬è °å§ó«üòàòà¬è ¤«ÿ âè°®áíè·®¿ ±è±òå¬è ¬®¦óòü áóòè:
1. Ǭ³íà åê®í®¬³·í®¿ ±ò°óêòó°è âè°®áíèöòâà § íàïå°å¤ §à¤àíè¬ ï°è-
°®±ò®¬ ï®êà§íèêà ±®ö³à«üí®¿ ê®°è±í®±ò³ ±ó±ï³«üí®ã® âè°®áíèöòâà:

ÀÁ
δ · Á (t ) = · Á (t ) ’ · Á (t0 ) = ’ δ · À (· Á = = 1 ’ · À ), (5.1)
À
3 3 3
¤å ÀÁ = ‘ Àk1 ; A = ‘ ‘ Àkl ( k , l = 1, 2, 3),
k =1 k =1 l =1

Àk1 — âà°ò³±òü k-µ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â ó ±ôå°³ ⳤòâ®°åííÿ °®á®-
·®¿ ±è«è; À kl — âà°ò³±òü k-µ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â ó l-µ ±ôå°àµ
ⳤòâ®°åííÿ; À — ±ó¬à°íà âà°ò³±òü ó±³µ ò°ü®µ âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â
ó ò°ü®µ ±ôå°àµ ⳤòâ®°åííÿ.
2. Çà¤àíè© ï°è°³±ò âå«è·èíè ï°®¤óêò³â ³ ï®±«óã íåâè°®áí跮㮠±ï®¦è-
âàííÿ ¤«ÿ ﳤâèùåííÿ ¬àòå°³à«üí®ã® §àáå§ïå·åííÿ «þ¤å©:

¤Á(t ) = Á(t ) ’ Á(t0 ), (5.2)
81
¤å Á(t0), Á(t) — âà°ò³±òü ï®·àòê®â®ã® ³ ï®ò®·í®ã® íåâè°®áíè·®ã®
±ï®¦èâàííÿ ±à¬®þ °®á®·®þ ±è«®þ.
3. Çà¤àíè© ï°è°³±ò âà«®â®ã® ï°®¤óêòó:

¤Ï(t ) = Ï(t ) ’ Ï(t0 ) (Ï = Ï1 + Ï 2 + Ï 3 ), (5.3)

¤å Ï(t0), Ï(t) — âà°ò³±òü ï®·àòê®â®ã® ³ ï®ò®·í®ã® ±ó¬à°í®ã® ï°®-
¤óêòó ó â±³µ ò°ü®µ ±ôå°àµ ⳤòâ®°åííÿ; Ï1, Ï2, Ï3 — âà°ò³±òü ï°®-
¤óêòó ⳤï®â³¤í® ó ±ôå°àµ ⳤòâ®°åííÿ °®á®·®¿ ±è«è, §íà°ÿ¤ü
ï°àö³ òà ï°å¤¬åòà ï°àö³.
4. Çà¤àíè© ï°è°³±ò ®±í®âí®ã® êàï³òà«ó:

¤À2 (t ) = À2 (t ) ’ À2 (t0 ) ( À2 = À21 + À22 + À23 ), (5.4)

¤å À 2(t), À2(t0) — âà°ò³±òü §íà°ÿ¤ü ï°àö³ ó â±³µ ò°ü®µ ±ôå°àµ
ⳤòâ®°åííÿ; À21, À22, À23 — âà°ò³±òü §íà°ÿ¤ü ï°àö³ ⳤï®â³¤í® ó
±ôå°àµ ⳤòâ®°åííÿ °®á®·®¿ ±è«è, §íà°ÿ¤ü ï°àö³ òà ï°å¤¬åòà
ï°àö³.
5. Çà¤àíè© ï°è°³±ò ï°èáóòê®â®±ò³ âè°®áíèöòâà ó ±ôå°àµ ⳤòâ®°åí-
íÿ òà âè°®áíè·®¿ ±è±òå¬è §àãà«®¬:
3
¤hl (t ) = hl (t ) ’ hl (t0 ); ¤h(t ) = ‘ hl (t ) (l = 1, 2, 3), (5.5)
l =1
¤å hl(t0), hl(t) — ï®·àòê®âà ³ ï®ò®·íà í®°¬è ï°èáóòêó ó ±ôå°àµ
ⳤòâ®°åííÿ °®á®·®¿ ±è«è (l = 1), §íà°ÿ¤ü ï°àö³ (l = 2), ³ ï°å¤¬åòà
ï°àö³ (l = 3).
Îò¦å, ¤«ÿ ¤®±ÿãíåííÿ ïåâíèµ ö³«å© ¬®¦å áóòè âè§íà·åíè© íå®á-
µ³¤íè© °å§ó«üòàò ⳤòâ®°åííÿ. Íà±òóïíà ï®±òàí®âêà §à¤à·³ ¤à±òü
§¬®ãó âè§íà·èòè §à±®áè ¤®±ÿãíåííÿ ï°®åêò®âàí®ã® °å§ó«üòàòó. À«å
ï®ò°³áí® ¬àòè íà óâ৳, ù® ﳤﮰÿ¤êóâàííÿ ï°®öå±ó ⳤòâ®°åííÿ
°®§â’ÿ§àííþ ®ê°å¬®¿ §à¤à·³ ¬®¦å ±ï°è·èíèòè ®¤í®á®êè© °®§âèò®ê
±ó±ï³«üí®ã® âè°®áíèöòâà, ù® íå ò³«üêè íå ±ï°èÿòè¬å, à © ï°®ò褳ÿòè-
¬å ¤®±ÿãíåííþ ï®±òàâ«åí®¿ ¬åòè. Íàï°èê«à¤, ﳤﮰÿ¤êóâàííÿ ⳤ-
òâ®°åííÿ ¤®±ÿãíåííþ íåâè°®áí跮㮠±ï®¦èâàííÿ (5.2) §à °àµóí®ê
ï°è°®±òó §à±®á³â âè°®áíèöòâà ¬®¦å ï°è§âå±òè ¤® §¬åíøåííÿ ÊÊ„
âè°®áíè·®¿ ±è±òå¬è, ¤® §íè¦åííÿ ï°èáóòê®â®±ò³ © ³íøèµ íåáà¦àíèµ
°å§ó«üòàò³â. ‘à¬å öå ³ ò°àïè«®±ÿ â ꮫèøíü®¬ó ‘БРíàï°èê³íö³
80-µ °®ê³â.
Ю§â’ÿ§àííÿ ·à±òê®âèµ §àâ¤àíü ¤®°å·í® â ò®¬ó âèïà¤êó, ꮫè íà
íåâå«èꮬó ï°®¬³¦êó ·à±ó ï®ò°³áí® ó±óíóòè íåãàòèâí³ © ﳤ±è«èòè
82
ﮧèòèâí³ ôàêò®°è ó ïåâíèµ ±ôå°àµ ⳤòâ®°åííÿ. Íàï°èê«à¤,
§á³«üøåííÿ íåâè°®áí跮㮠±ï®¦èâàííÿ áó¤å ﮧèòèâíè¬ §à ±òà«®±ò³
§à±®á³â âè°®áíèöòâà, ÿêù® ±ôå°è ⳤòâ®°åííÿ §íà°ÿ¤ü ï°àö³ òà ï°å¤-
¬åòà ï°àö³ íàáàãàò® ïå°åâèùàòü ±ôå°ó ⳤòâ®°åííÿ °®á®·®¿ ±è«è.
ϳ¤ï®°ÿ¤êóâàííÿ ⳤòâ®°åííÿ ï°è°®±òó ®±í®âí®ã® êàï³òà«ó (5.4) ·è
ﳤâèùåííþ ï°èáóòê®â®±ò³ â ®¤í³© §³ ±ôå° â³¤òâ®°åííÿ (5.5) ¬®¦å
áóòè íå®áµ³¤íè¬ ¤«ÿ “ﳤòÿãóâàííÿ” ⳤ±òà«èµ ãà«ó§å©.
Ê®¬ï«åê±íè¬ ³ ò®¬ó ê°àùè¬ °å§ó«üòàò®¬ ⳤòâ®°åííÿ º ¤®±ÿãíåí-
íÿ §à¤àí®ã® ï°è°®±òó ï®êà§íèêà ±®ö³à«üí®-±ò°óêòó°í®¿ ê®°è±í®±ò³
(5.1) ±ó±ï³«üí®ã® âè°®áíèöòâà § ¬åò®þ ®ïò謳§àö³¿ âè°®áíè·®¿ ±è±òå-
¬è §àãà«®¬.

Á ¤ Á* , (5.6)
·Á ( À, Ï, t ) = opt; ï°è À ’ ÀÁ = min; Á = max;

¤å Á* — ¬àê±è¬à«üí® ï®âíå ±ï®¦èâàííÿ ó·à±íèêà¬è âè°®áíèöòâà.
‚è§íà·åííÿ (5.6) ®§íà·àº, ù® ï®ò°³áíè© °å§ó«üòàò, ÿêè¬ ó ¤àí®¬ó
°à§³ º ¬àê±è¬ó¬ íåâè°®áí跮㮠±ï®¦èâàííÿ, ï®âèíåí ¤®±ÿãàòè±ÿ ¬³-
í³¬à«üí®þ 곫üê³±òþ §à±®á³â âè°®áíèöòâà ø«ÿµ®¬ ®ïò謳§àö³¿ åê®-
í®¬³·í®¿ ±ò°óêòó°è 󱳺¿ âè°®áíè·®¿ ±è±òå¬è. „«ÿ öü®ã® ôóíêö³þ óï-
°à⫳ííÿ ⳤòâ®°åííÿ¬ ó §àãà«üí®¬ó âèã«ÿ¤³ ¬®¦íà §àïè±àòè òàê:

F (t ) = F [â kl (t ), bkl (t ), Z kl (t ), t ò (t ), yi (t )] (5.7)
(0 ¤ â kl ¤ 1), ( k , l = 1, 2, 3) (i = 1, 2,..., I ), tò = tí + tï ,
¤å
βkl — ê®åô³ö³ºíòè °®§ï®¤³«ó âè°®á«åíèµ l-µ ï°®¤óêò³â ¬³¦ k-¬è âè-
°®áíè·è¬è å«å¬åíòà¬è ó â±³µ ò°ü®µ ±ôå°àµ ⳤòâ®°åííÿ;
bkl, Zkl — ê®åô³ö³ºíòè °®§ï®¤³«ó k-µ â褳â ï°èï«èâó âà°ò®±ò³ §§®âí³
òà âè°®áíè·èµ ±êà°á³â ¬³¦ l-¬è ±ôå°à¬è ⳤòâ®°åííÿ;
tò, tí, tï — ⳤï®â³¤í® ò°èâ૳±òü ï°àö³, ·à± íå®áµ³¤í®¿ òà ·à± ¤®¤àò-
ê®â®¿ ï°àö³;
y i — åê®í®¬³ê®-òåµí³·í³ ïà°à¬åò°è, ù® âï«èâàþòü íà ï°®öå±è
ⳤòâ®°åííÿ. „® íèµ, íàï°èê«à¤, íà«å¦àòü ïà°à¬åò°è, ù® âè§íà·à-
þòü øâè¤ê³±òü ïå°åíå±åííÿ âà°ò®±ò³ § âè°®áíè·èµ å«å¬åíò³â íà âè-
°®á«åí³ ï°®¤óêòè: òå°¬³í ï°è¤àòí®±ò³ âè°®á³â, ·à± ï°àö姤àòí®±ò³
ï°àö³âíèê³â òà ³í.
Ç ó°àµóâàííÿ¬ ôóíêö³¿ óï°à⫳ííÿ (5.7) §à¤à·ó ⳤòâ®°åííÿ â §à-
ãà«üí®¬ó âèã«ÿ¤³ ¬®¦íà ±ô®°¬ó«þâàòè òàê [1, 2]:

83
( À, Ï, ’) = . [â kl (t ), bkl (t ), Z kl (t ), tò (t ), yi (t )]

À = À( À0 , Ï, ‚, ‘ , „¦, t ) 
 (5.8)
Ï = Ï( À, ’, t ) 

’ = ’( À1 , Á, tò , t ), 
¤å
J 3
À = [ Akl ]; Akl = · kl Ak ; Ak = ‘ Akj ; ‘ · ki = 1.
j =1 l =1

(k , l = 1, 2,3), ( j = 1, 2,..., J );
J I 3
Ï = [Ï kl ]; Ï kl = â kl Ïl ; Ïl = ‘ ‘ â lji Ï ji ; ‘ â kl = 1.
j =1 i =1 l =1

(0 ¤ â kl ¤ 1); (k , l = 1, 2,3), ( j = 1, 2,..., J ), (i = 1, 2,..., I j );
J 3
‚ = [ ‚kl ]; Bkl = bkl Bk ; Bk = ‘ Bkj ; ‘ bkl = 1.
j =1 l =1

(k , l = 1, 2,3), ( j = 1, 2,..., J );
J 3
C = [Ckl ]; Ckl = Z kl Ck ; Ck = ‘ Ckj ; ‘ Z kl = 1.
j =1 l =1

(k , l = 1, 2,3), ( j = 1, 2,..., J );
J 3
„¦ = [„¦kl ]; „¦kl = ¬kl „¦k ; „¦ k = ‘ „¦kj ; ‘ ¬kl = 1.
j =1 l =1

(k , l = 1, 2,3), ( j = 1, 2,..., J ),
tò = tí + tï ; (tò )opt ¤ tò ¤ (tò )ï° ;
¤å
(tò)ï° — ã°àíè·í® ¤®ïó±òè¬è© ·à± ï°àö³;
(tò)opt — ®ïòè¬à«üíè© ·à± ï°àö³ §à ó¬®âà¬è ±®ö³à«üí®-á³®«®ã³·í®ã®
°®§âèòêó «þ¤èíè;
µkl — ê®åô³ö³ºíòè k-µ â褳â âò°àò âà°ò®±ò³ â l-µ ±ôå°àµ ⳤòâ®°åííÿ;

<<

. 13
( 20 .)



>>