<< Предыдущая

стр. 8
(из 14 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

43
(8) ? ti? = ti+ ? – ti? ? , ? ti+ = ti+ + – ti+ ? , i ? V.
В интервальной модели, в отличие от «классической», нельзя
однозначно сказать является ли событие критическим. Все опера-
ции могут быть разделены на три класса.
В первый класс попадают события, для которых имеет место
полная определенность, то есть, события, для которых обе границы
(8) равны между собой и равны нулю. Эти операции можно с пол-
ным основанием назвать критическими.
Во второй (промежуточный по степени «критичности») класс
попадают события, для которых нижняя граница отрезка полных
резервов равна нулю, а правая строго положительна. Такие события
могут в рамках существующей неопределенности оказаться крити-
ческими. Условно назовем их полукритическими.
И, наконец, третий класс составляют события, для которых
нижняя граница отрезка полных резервов строго положительна.
Такие события можно с полной определенностью отнести к некри-
тическим.
Рассмотрим иллюстративный пример.
Пример 3. Пусть имеется сеть, приведенная на рисунке 8 с ин-
тервалами продолжительностей операций, приведенными в таблице
4. В таблице 5 приведены параметры событий, рассчитанные соот-
ветствии с формулами (5)-(8).


1


0 4
3


2



Рис. 8. Сеть в примере 3

Табл. 4. Параметры операций в примере 3
Операции Минимальная Максимальная
продолжительность продолжительность

44
0-1 1 3
0-2 4 7
0-3 1 3
1-3 1 3
1-4 5 6
2-4 2 4
3-4 4 6

Табл. 5. Параметры событий в примере 3
?t- ?t+
Событие -- -+
l- l+ t+- t++
t t
0 0 0 6 12 0 0 0 0
1 1 3 5 9 1 3 0 0
2 4 7 2 4 4 8 0 1
3 2 6 4 6 2 6 0 0
4 6 12 0 0 6 12 0 0

Видно, что при использовании нижних границ интервалов
продолжительностей операций критическими являются все собы-
тия и длина критического пути T – = 6, а при использовании верх-
них границ – критическим является путь 0-1-3-4 длины T + = 12.
Следовательно, в условиях существующей неопределенности собы-
тия 0, 1, 3 и 4 являются критическими, а событие 2 – полукритиче-
ским. •
Отметим, что в предельном случае интервальной неопределен-
ности, то есть при полной информированности, когда отрезки
? +
[ tij , tij ] – суть точки, i, j ? V, выражения (5)-(8) переходят в соот-
ветствующие выражения (1)-(4).
Обобщим теперь рассмотренную модель интервальной неоп-
ределенности на нечеткий случай, при котором относительно про-
должительностей операций имеется нечеткая информация µ ˜ij (tij ) ,
t

где µ ˜ij (?) : ?1 > [0; 1] – функция принадлежности нечеткой про-
+
t

должительности операции (i, j), i, j ? V.
Нечеткая информация относительно продолжительности опе-
раций может быть получена от экспертов в ситуации, когда проект
и каждая операция являются уникальными (например, научные,

45
организационные и др. проекты) и отсутствуют как нормативы, так
и статистические данные.
В соответствии с принципом обобщения [14, 64, 94] функция
принадлежности нечеткого раннего времени свершения i-го собы-
тия, i ? V, имеет вид (ранние времена свершения событий – входов
сети являются четкими равны нулю):
(9) µ ˜ ? ( x ) = min [ min ( µ ˜ji ( x ji ) ); µ ˜ ? ( x j ) ].
max t
t t
{( x ji ), j?Qi , x j | max ( x j + x ji )= x} j?Qi
i j
j?Qi

Функция принадлежности нечеткого времени завершения про-
екта (нечеткой длины критического пути) есть
(10) µT (T ) = min ( µ ˜ ? ( x j ) ).
max
˜
t
{( xi ), i?V | min ( x j )=T } j?V j
j?V

Нечеткие длины максимального пути от вершины i ? V до вы-
хода сети (соответствующие длины для событий – выходов сети –
являются четкими и равны нулю) имеют функцию принадлежности
(11) µ ˜ ( x ) = min [ min ( µ ˜ij ( xij ) ); µ l˜ ( x j ) ].
max t
l {( xij ), j?Ri , x j | max ( x j + xii ) = x } j?Ri
i j
j?Ri

Функции принадлежности нечетких поздних времен свер-
шения событий имеют вид:
(12) µ ˜ + ( x ) = min [ µT (T ) ; µ ˜ ( xi ) ], i ? V.
max ˜
l
t {( T , xi ) | T ? xi = x } i
i

Функции принадлежности нечетких полных резервов событий
имеют вид:
(13) µ ?˜i ( x ) = min [ µ ˜ + ( yi ) ; µ ˜ ? ( xi ) ], i ? V.
max
t t t
{( yi , xi ) | yi ? xi = x } i i


Величину µi = µ ?˜i (0) ? [0; 1] можно интерпретировать как
t

степень принадлежности i-го события критическому пути, i ? V.
Информация о степенях принадлежности событий критиче-
скому пути может служить для руководителей проекта индикато-
ром, отражающим требование первоочередного внимания к собы-
тиям, у которых эти степени равны единице или близки к ней.
Отметим, что в частном случае нечеткой неопределенности –
при интервальной неопределенности (то есть когда µ ˜ij (tij ) = 1 и
t
? +
Supp µ ˜ij (tij ) = [ tij , tij ], (i, j) ? E) выражения (9)-(13) переходят в
t

соответствующие выражения (5)-(8).

46
8. ИГРЫ С ПЕРЕМЕННЫМ СОСТАВОМ И УПРАВЛЕНИЕ
ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ ПРОЕКТАМИ

В организационных проектах, да и в проектах других типов,
реализуемых в проектно-ориентированных организациях, одной из
задач управления является формирование команды проекта, то есть
выбор из числа сотрудников организации и/или из числа потенци-
альных внешних участников проекта такого их набора, реализация
проекта которыми будет наиболее эффективной. Адекватной моде-
лью этой ситуации являются рассматриваемые ниже в настоящем
разделе игры с переменным составом (в которых набор игроков,
принимающих участие в игре, является переменным).
Задачи формирования состава исполнителей, выбора команды
проекта и т.д. близки к задачам оптимизации состава АС, решаемые
в таких разделах теории управления социально-экономическими
системами как: теория активных систем, теория контрактов, эконо-
мика труда, экономика организаций и др. Поэтому, прежде чем
переходить к исследованию игр с переменным составом, проведем
краткий обзор результатов решения задач оптимизации состава ОС.
В большинстве работ по теории управления социально-
экономическими системами (активными системами – АС) рассмат-
риваются задачи управления (планирования, стимулирования и др.
[33, 48, 86]) в предположении, что состав участников системы
(далее для краткости – состав), то есть набор управляющих органов
– центров – и управляемых субъектов – агентов, фиксирован. Коль
скоро известно решение задачи управления для фиксированного
состава АС, появляется возможность рассмотрения задачи управ-
ления составом активной системы, то есть задачи определения
оптимального (в оговариваемом ниже смысле) набора агентов,
которых следует включить в систему, и тех их действий, выбор
которых наиболее выгоден для центра9 (или центров, если послед-
них несколько). Если имеется решение задачи управления соста-
вом, то следующим шагом может быть решение задачи синтеза
оптимальной структуры АС – определения числа уровней иерар-
9
Побуждение агентов к выбору определенных действий является «клас-
сической» задачей управления АС, то есть задачей управления фиксиро-
ванным составом.
47
хии, распределения участников АС по уровням, определения связей
между ними и т.д. (см. также выше и [39, 40, 44, 47, 82]).
В теории контрактов [20, 21, 83, 125, 126, 131] исследовались
модели определения оптимального числа работников (в основном,
однородных) при ограничениях согласованности стимулирования и
резервной заработной платы [126, 131]. Обычно в работах зарубеж-
ных авторов по теории контрактов считается, что на момент заклю-
чения контракта будущее значение состояния природы (внешнего
неопределенного фактора, определяющего условия функциониро-
вания АС) неизвестно ни центру, ни потенциальным работникам,
но они имеют о нем информацию в виде вероятностного распреде-
ления. Задача центра заключается в определении зависимости
вознаграждения работников от результатов их деятельности или
действий и числа работников, нанимаемых в зависимости от со-
стояния природы, которые максимизировали бы математическое
ожидание целевой функции центра при условии, что всем приня-
тым на работу гарантируется уровень полезности не меньший
резервной заработной платы (при этом может добавляться условие
обеспечения центром определенных гарантий для безработных).
Отметим, что сформулированная задача существенно проще (так
как не учитывается активность работников), чем базовая модель
теории контрактов [123], в которой фигурирует дополнительное
условие выбора агентом действия, максимизирующего его ожидае-
мую полезность при заданной системе стимулирования. Подробное
описание соответствующих результатов приведено в обзоре [20]. В
настоящей работе нас будут интересовать постановки теоретико-
игровых задач, учитывающие потенциальную активность всех
участников ОС.
В рамках экономики труда [112, 115, 122, 134] основной ре-
зультат, определяющий оптимальное количество работников, от-
ражает равенство производимого ими предельного продукта (пре-
дельной производительности) и предельных затрат на их
привлечение и удержание (см. обсуждение взаимосвязи между
экономикой труда и задачами управления организационными сис-
темами в [13, 65]). Количество дополнительной продукции (дохо-
да), которое получает фирма, нанимая одного дополнительного
(сверх уже работающих) работника (единицу труда), называется
предельным продуктом труда. Предельные издержки есть затраты
48
центра на стимулирование при приеме на работу дополнительного
работника. Условие максимизации прибыли (разности между дохо-
дом центра и его затратами на стимулирование) требует, чтобы
прибыль была максимальна. Для этого следует изменять число
занятых (увеличивать, если предельный доход превышает предель-
ные издержки, и уменьшать в противном случае) до тех пор, пока
предельный доход не будет равен предельным издержкам.
В экономике организаций принят следующий общий подход к
определению оптимального размера организации (см. подробное
обсуждение и ссылки в [73]). С одной стороны, существует рынок –
как система обмена прав собственности. С другой стороны, эконо-
мические агенты объединяются в организации, взаимодействующие
на рынке. Объяснением существования экономических организа-
ций служит необходимость компромисса между трансзакционными
издержками и организационными издержками, которые определя-
ются "затратами на координацию" внутри организации, которые
растут с увеличением ее размеров.
Транзакционные издержки препятствуют рынку заместить со-
бой организацию, а организационные издержки препятствуют
организации заместить собой рынок. Основная идея (качественная),
используемая в экономике организаций при обсуждении задач
формирования состава заключается в том, что, так как и первые, и
последние издержки зависят от размера организации и ее структу-
ры, то, теоретически, должны существовать оптимальные парамет-
ры организации, при которых достигается уравновешивание упо-
мянутых тенденций замещения.
Обсудим теперь кратко результаты, полученные в рамках тео-
рии активных систем. Впервые в теории активных систем задачи
формирования состава АС рассматривались в работах [32, 66] для
случая назначения проектов. Вообще, задача о назначении с неиз-
вестными центру и сообщаемыми ему агентами параметрами эф-
фективности их деятельности на различных должностях неодно-
кратно привлекала внимание исследователей, особенно в области
управления проектами [32].
В работе [35] рассмотрена модель динамики трудовых ресур-
сов между несколькими предприятиями в зависимости от условий
оплаты труда и неденежных факторов вознаграждения работников.
Несколько моделей, в которых определялось оптимальное с точки

<< Предыдущая

стр. 8
(из 14 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>