<< Предыдущая

стр. 9
(из 14 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

49
зрения информационной нагрузки на центр число агентов, которых
следует включать в АС, рассматривались в работе [82] при изуче-
нии факторов, определяющих эффективность управления много-
уровневыми организационными системами. Широкое распростра-
нение в задачах управления АС нашли методы теории графов [23].
Задачи определения оптимальной последовательности выполнения
операций (сокращение производственного цикла, коммерческого
цикла, задачи снабжения и др. [3, 7, 10, 11, 12, 23, 26, 32]) условно
могут рассматриваться как задачи формирования состава.
Наиболее представительным классом механизмов управления
АС, которые могут рассматриваться как задачи формирования
состава, являются конкурсные и аукционные механизмы, в которых
ресурс или работы распределяются между претендентами на осно-
вании упорядочения эффективностей их деятельности. Примерами
являются прямые, простые и двухэтапные конкурсы, конкурсы
исполнителей в управлении проектами, задачи назначения испол-
нителей (так называемые сложные конкурсы) и др. [32].
Первые систематические постановки задач формирования со-
става АС (отметим, что речь идет именно о задачах формирования
состава, а не управления составом, так как в большинстве извест-
ных моделей речь идет о формировании состава АС «с нуля»)
появились недавно – см. монографию [90]. В упомянутой работе
выделяются три общих подхода к решению задач формирования
состава АС на основании рассмотрения задач стимулирования.
Первый подход заключается в «лобовом» рассмотрении всех воз-
можных комбинаций потенциальных участников АС. Его достоин-
ство – нахождение оптимального решения, недостаток – высокая
вычислительная сложность. Второй подход основывается на мето-
дах локальной оптимизации (перебора составов АС из некоторой
окрестности определенного состава). Используемые при этом
эвристические методы в общем случае не дают оптимального ре-
шения и поэтому требуют оценивания их гарантированной эффек-
тивности. И, наконец, третий подход заключается в исключении
заведомо неэффективных комбинаций агентов на основании анали-
за специфики задачи стимулирования (см. упорядочение агентов,
имеющих сепарабельные затраты, в задачах формирования состава
АС). При этом вычислительная сложность резко сокращается и
удается получить точное (оптимальное) решение, но, к сожалению,
50
данный подход применим далеко не всегда, и в каждом конкретном
случае возможность его использования требует соответствующего
обоснования.
Завершив краткий обзор моделей оптимизации состава АС, пе-
рейдем к рассмотрению игр с переменным составом.
Обозначим: I = {1, 2, …, n} – множество игроков (агентов), Ai –
множество допустимых действий (выборов) i-го агента, fi(y, ri) – его
?
целевую функцию, где y = (y1, y2, …, yn) ? A’ = Ai – вектор
i?I
действий агентов, ri ? ?i – тип i-го агента, i ? I, J ? 2I – подмноже-
ство множества игроков.
Пусть у i-го агента существует действие z ? Ai, такое, что ? y-
i ? A-i fi(y-i, z) =Z, где y-i = (y1, …, yi-1, yi+1, …, yn) – обстановка игры

? A j , i ? I. Содержательно, выбирая действие
для него, A-i =
j ?i

z ? Ai, i-ый игрок отказывается от игры10 и получает гарантирован-
ный (независящий от действий других игроков) выигрыш Z. Игро-
ков, отказавшихся от игры, будем называть пассивными, прини-
мающих участие в игре – активными. Итак, множество активных
игроков есть J = {i ? I | yi ? z}, множество пассивных игроков –
I \ J = {i ? I | yi = z}.
Введем множество равновесий Нэша EN(J) игры активных иг-
роков
(1) EN(J) = {xJ ? AJ | ? i ? J, ? yi ? Ai fi(xJ, zI\J) ? fi(xJ|yi, zI\J)}, J ? I,
где xJ = (xi)i ? J – вектор действий активных игроков, zI\J – вектор
действий пассивных игроков (то есть, вектор размерности |I \ J|, все
элементы которого равны z), xJ|yi – вектор xJ действий активных
игроков, в котором действие i-го игрока xi заменено на yi, i ? I.
Очевидно, что на одной и той же исходной игре в нормальной
форме Г0 = {I, (Ai)i ? I, (fi)i ? I} можно определить 2|I| игр, каждая из


10
Для простоты считается, что действия, соответствующие отказу от
игры, у всех игроков одинаковые. Все приводимые в настоящем разделе
результаты могут быть обобщены (что является перспективной зада-
чей дальнейших исследований) на общий случай, в котором отказу от
игры у различных игроков соответствуют различные действия и выиг-
рыши пассивных игроков зависят от действий активных игроков.
51
которых будет соответствовать участию в ней некоторого подмно-
жества множества I игроков.
Анализ игр с переменным составом заключается в исследова-
нии зависимости равновесия и выигрышей игроков от множества J
активных агентов. С нормативной точки зрения формирование
команды проекта (как синтез игры с переменным составом) может
рассматриваться как задача поиска множества активных игроков,
обеспечивающего либо максимум функционала, отражающего
интересы и предпочтения ЛПР (центра, руководителя проекта и
т.д.) и определенного в общем случае на множестве векторов дей-
ствий всех агентов, либо максимум функционала, отражающего
интересы и предпочтения самих агентов. Рассмотрим возможные
варианты.
Определим следующий функционал, отражающий гарантиро-
ванный суммарный выигрыш активных игроков:
?
f i ( x J , z I \ J ) , J ? I,
(2) f(J) = min
x J ?E N ( J )
i?J
и функционал
(3) f0(J) = f(J) + |I \ J| Z, J ? I,
отражающий суммарный гарантированный выигрыш всех (и актив-
ных, и пассивных) игроков. Очевидно, f(I) = f0(I). Отметим, что
учет интересов всех участников (в том числе – пассивных) харак-
терно для управления ОП.
Помимо функционалов (2) и (3), характеризующих абсолют-
ные величины выигрышей агентов, можно рассматривать относи-
тельные характеристики f(J) / |J| и f0(J) / |J|, показывающие удель-
ные (приходящиеся «в среднем» на одного активного игрока или,
соответственно, на каждого из n игроков) эффективности реализа-
ции проекта множеством J исполнителей (нормировка на постоян-
ное число n – размер максимального состава – не имеет смысла).
Обозначим ?(y) – целевую функцию центра, определенную на
множестве A’ всевозможных векторов действий агентов. С точки
зрения центра гарантированная эффективность деятельности мно-
жества J ? I активных игроков равна
(4) K(J) = min ?(xJ, zI\J).
x J ?E N ( J )




52
Таким образом, в рамках рассматриваемой модели возможны
следующие пять постановок задач11: максимизировать, варьируя
множество активных игроков, один из функционалов: f(J), f0(J),
f(J) / |J|, f0(J) / |J| или K(J).
Качественно, в системах с переменным составом (и однород-
ными участниками) имеют место две противоположных тенденции.
С одной стороны, с ростом числа активных участников возрастает
интегральный результат их деятельности, а, с другой стороны,
возрастают как организационные издержки (затраты на координа-
цию совместной деятельности), так и индивидуальные затраты
[73, 82, 90, 91]. Поэтому, как правило, существует промежуточный
(по числу участников – между максимальным и минимальным
составом) оптимум – такое множество активных игроков, которое
максимизирует функционал эффективности, в качестве которого (в
зависимости от решаемой исследователем операций задачи) может
выступать один из введенных выше функционалов. Поиску этого
оптимума для ряда задач управления (типов организационных
проектов) и посвящено дальнейшее изложение материала настоя-
щего раздела.
Рассмотрим сначала простейший случай, в котором ОС одно-
родна, то есть, все агенты одинаковы, то есть fi(y, ri) = g(y), Ai = A,
i ? I, поэтому зависимость от r будем опускать. Тогда действие,
доставляющее максимум целевой функции любого активного аген-
та, одинаково для всех из них и определяется числом активных
агентов. Обозначим это действие
(5) vm = arg max g (( q ) m , ( z ) n ? m ) , m = 1, n .
q?A
Выигрыш любого агента равен g((vm)m, (z)n-m), поэтому
f(m) = m g((vm)m, (z)n-m),

11
Отметим, что разнообразие задач, конечно, гораздо шире – можно
ограничить множество допустимых комбинаций агентов, которые
могут выступать в роли активных игроков, рассматривать многокрите-
риальные задачи или задачи максимизации одного из функционалов при
ограничениях на значения других функционалов, конструировать другие
функционалы, анализировать игры с переменным составом в многоуров-
невых структурах, в динамических АС, в условиях неопределенности и
т.д. Перечисленные модификации рассматриваемой постановки являют-
ся задачами будущих исследований.
53
f0(m) = f(m) + (n – m) Z,
f0(m) / m = g((vm)m, (z)n-m) + (n – m) Z / m,
K(m) = ?((vm)m, (z)n-m), m = 1, n .
Задача оптимизации состава однородной ОС заключается в оп-
ределении оптимального (по тому или иному, но определенному,
критерию) числа однородных активных агентов. Для ее решения
достаточно сравнить n + 1 вариант – включение в состав проекта m
агентов, где m = 1, n , и отказ от выполнения проекта (m = 0).
Рассмотрим это решение для случая, когда целевая функция
агента имеет вид
(6) g(q, m) = H(q) W+(m) – c(q) W-(m).
Введем следующие предположения:
+
1. A = ?1 ;
2. z = 0;
3. H(q) – неотрицательная непрерывно дифференцируемая по-
ложительнозначная вогнутая функция;
4. с(q) – неотрицательная непрерывно дифференцируемая по-
ложительнозначная возрастающая строго выпуклая функция,
c(0) = 0;
5. W-(m) и W+(m) – неубывающие положительнозначные функ-
ции;
c( q )
= + ?;
lim
6.
q>? H ( q )

W? ( m)
= + ?.
7. lim
m> ? W ( m )
+
Содержательные интерпретации функции (6) и введенных
предположений таковы: выбирая действие q ? 0 агент получает
доход, зависящий от этого действия и от числа активных агентов,
причем имеет место «эффект кооперации» – с ростом числа актив-
ных агентов доход каждого из них возрастает. Кроме того, выбор
действия сопряжен для агента с некоторыми затратами (большим
действиям соответствуют большие затраты), которые при фиксиро-
ванном действии возрастают с ростом числа активных агентов
возрастают. Последний эффект отражает организационные издерж-


54
ки – затраты на организацию и координацию совместной деятель-
ности, взаимодействие агентов и т.д.
Из введенных предположений можно сделать выводы, которые
сформулируем в виде следующего утверждения (доказательство его
справедливости производится апелляцией к известным результатам
математического анализа и опускается).
Утверждение 3. Если выполнены предположения 1-7, то в АС с
однородными агентами, имеющими целевую функцию (6) для
любого числа активных агентов оптимальное действие vm сущест-
вует, конечно, единственно и удовлетворяет
?
(7) vm = g 0 1 (W(m)),
H ' (q)
?
g 0 1 (?) – функция, обратная к функции g0(q) =
где ,
c' ( q )
W? ( m)
W(m) = .
W+ ( m)
Во многих прикладных задачах целевая функция агента может
быть «линеаризована по доходу», то есть, представлена в виде
(8) g(q, m) = q m – c0(q) W0(m).
Утверждение 4. Если выполнены предположения 1-7, то в АС с
однородными агентами, имеющими целевую функцию (8), для
любого числа активных агентов равновесное действие vm существу-
ет, конечно, единственно, удовлетворяет
(9) vm = c0?1 (m / W0(m)),
'


и достигает максимума при конечном числе активных агентов.
Доказательство утверждения . Справедливость выражения (9)
вытекает из (7) и (8). Из предположений 5 и 7 следует, что макси-
мум отношения12 m / W0(m) достигается при конечном m*, а из
предположения 4 следует монотонность функции c0?1 (?). •
'


Рассмотрим еще более частный случай.
Пример 4. Если выполнены предположения 1-7 и агенты име-
ют квадратичные функции затрат типа Коба-Дугласа, то в АС с
однородными агентами, имеющими целевую функцию (8), для
любого числа активных агентов равновесное действие
12
Данное отношение может интерпретироваться как отражающее
баланс эффекта кооперации и организационных издержек.
55
vm = m / W0(m) существует, конечно, единственно, достигает мак-
симума при конечном числе m* активных агентов. Кроме того,
f0(m) = f(m) = m3 / 2 W0(m). Видно, что в данном случае максимум
суммарных равновесных действий и максимум суммы целевых
функций активных агентов достигается при одном и том же их
числе. •
В заключение настоящего раздела отметим, что, если ОС неод-
нородна, то есть агенты различаются по своим характеристикам, то

<< Предыдущая

стр. 9
(из 14 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>