<< Предыдущая

стр. 13
(из 19 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

нение и выбирая, в случае наличия нескольких корней, корень,
которому соответствует минимальное значение (6), получаем
оптимальную унифицированную систему стимулирования.
Исследуем задачу (4)-(5). Из того, что время работы АЭ пер-
вого типа не зависит от ставки оплаты, следует, что для них



77
достаточно1 установить минимальную ставку оплаты, то есть
?1 = ?0. Из того, что АЭ третьего типа на увеличение ставки
оплаты реагируют снижением продолжительности рабочего
времени, вытекает, что им также следует установить минималь-
ную оплату, то есть ?3 = ?0. Обозначим, как и выше, ?3 – макси-
мальное количество часов, отрабатываемых АЭ третьего типа при
минимальной ставке оплаты ?0. Тогда задача (4)-(5) примет вид:
(8) n2 ?2 ?2(?2) + n4 ?4 ?4(?4) > min
? 2 ?? 0 , ? 4 ?? 0
при ограничении
(9) n2 ?2(?2) + n4 ?4(?4) = T + ?T – n1 ?1 – n3 ?3.
Задача (8)-(9) является стандартной задачей условной опти-
мизации с одним ограничением и двумя переменными. Сложно-
сти при решении этой задачи могут возникнуть из-за нелинейно-
сти ограничений и невыпуклости целевой функции (например,
априори нельзя гарантировать оптимальности внутреннего реше-
ния, и т.д.).
Рассмотрим пример, иллюстрирующий полученные результа-
ты решения задачи управления продолжительностью проекта.
Пример 5. Пусть в состав системы входят 10 человек, в том
числе – три АЭ первого типа, четыре АЭ второго типа, два АЭ
третьего типа и один АЭ четвертого типа (отметим, что распреде-
ление АЭ по типам примерно соответствует приведенному во
второй части настоящей работы). Выберем конкретные зависимо-
сти: ?1 = 8, ?2(?2) = 6 + 0.1 ?2, ?3(?3) = 9 – 0.05 ?3, ?4(?4) = ?4 / 2 –
(?4)2 / 160. Из условия монотонности дохода (для АЭ третьего
типа) получаем, что ставка оплаты не должны превышать 90.
Предположим, что T + ?T = 86, ?0 = 20.
Решения задач управления продолжительностью проекта для
случаев унифицированной и персонифицированной систем сти-
мулирования приведены, соответственно, в таблицах 9 и 10.




Считается, что ставка оплаты ?0 такова, что она обеспечивает
1

агентам требуемый уровень резервной полезности.
78
Тип АЭ Итого
I II III IV
Ставка оплаты 34,07 34,07 34,07 34,07
Затраты 817,68 1281,99 497,18 333,21 2930,06
Время 24,00 37,63 14,59 9,78 86,00
Табл. 9. Решение задачи (6)-(7) для примера 5

Тип АЭ Итого
I II III IV
Ставка оплаты 20,00 31,11 20,00 31,57
Затраты 480,00 1133,85 320,00 301,62 2235,47
Время 24,00 36,44 16,00 9,56 86,00
Табл. 10. Решение задачи (4)-(5) для примера 5

Сравнивая затраты на управление (8) и (6), можно подсчи-
тать , что «цена унификации» составляет 694,59, то есть потери
2

превышают 30%.
В завершение настоящего примера проиллюстрируем воз-
можность построения функций затрат АЭ {ci(?i)} по информации
о зависимостях {?i(?)}.
В силу (8) следует восстановить функции затрат агентов вто-
рого и четвертого типа, что может быть осуществлено путем
интегрирования функции ?(?), обратной к функции ?(?) (см.
предыдущие части настоящей работы). Вычисляем, что с точно-
стью до резервной полезности c2(?) = 5 ?2 – 60 ? + 180 при ? ? 6 и
?
c4(?) = ? (40 ? 4 100 ? t )dt при ? ? [0; 10]. Тогда задачу (8)-(9)
0
можно записать в виде
?4c2 (? 2 ) + с4 (? 4 ) > min
? ? 2 ?6, ? 4 ?10 .
(10) ?
? 4? 2 + ? 4 = 46
?
Решение задачи (10), которое может быть получено методом
множителей Лагранжа, полностью совпадает с решением задачи
(8)-(9), которое для рассматриваемого примера приведено в таб-
лице 10. •

2
Для возможности сравнения необходимо в (8) добавить затраты
центра на стимулирование АЭ первого и третьего типов.
79
Таким образом, задачи управления продолжительностью
проекта сводятся к стандартным задачам условной оптимизации,
имеющим низкую размерность и легко решаемым любым из
многочисленных известных методов.
Завершив рассмотрение модели управления продолжительно-
стью проекта, в которой число АЭ того или иного типа, входящих
в АС, является заданным, перейдем к описанию модели, в кото-
рой состав системы (то есть число АЭ каждого типа) может изме-
няться.


3.2. МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ
СОСТАВА АКТИВНОЙ СИСТЕМЫ

Предположим, что задача заключается в определении состава
АС, осуществляющей производство некоторой продукции. Суще-
ствует заказ на суммарный объем производства R; рыночная цена
единицы продукции известна и рана ?. Также на рынке труда
имеется множество I0 АЭ, способных производить требуемую
продукцию с постоянной во времени интенсивностью ?. Набор I0
потенциальных претендентов характеризуется долей АЭ того или
иного из четырех возможных типов. Обозначим n10 – число пре-
тендентов первого типа (тип соответствует стратегии предложе-
ния труда), n20 – число претендентов второго типа, n30 – третьего
типа и n40 – четвертого типа. Очевидно, что выполнено
n10 + n20 + n30 + n40 = |I0|.
Предположим, что для каждого типа агентов известны мини-
мальный уровень резервной полезности U i , i = 1,4 , который
должен быть обеспечен ему центром в случае найма на работу, и
одинаковая для всех типов минимальная ставка оплаты ?0.
Задача управления (формирования состава) заключается в
выборе набора АЭ I ? I0 и установлении ставок оплаты
?1, ?2, ?3, ?4 агентов различных типов таким образом, чтобы
максимизировать прибыль АС, равную
?[? ?
(1) ?(?, I) = ? R – (? i ) + U i ] ,
i i

i?I

80
где ?i – ставка оплаты i-го агента, U i – его уровень резервной
полезности, i ? I0.
Формально, задача управления выглядит следующим обра-
зом:
(2) ?(?, I) > max .
? ,I
Состав I можно определить как число АЭ каждого типа,
включаемых в АС, то есть I = (n1, n2, n3, n4). Очевидно, что долж-
но выполняться ni ? ni0, i = 1,4 . Пусть для АЭ каждого типа из-
вестна зависимость ?i(?i), i = 1,4 , желательной продолжительно-
сти рабочего времени от ставки оплаты. Кроме этого, известно
(см. вторую часть настоящей работы), что ? ? ? ?0 ?1(?) = ?1.
Обозначим T = R / ?. Тогда задачу (2) можно записать в виде
(3) (?1 ?1(?1) + U1 ) n1 + (?2 ?2(?2) + U 2 ) n2 + (?3 ?3(?3) + U 3 ) n3 +
+ (?4 ?4(?4) + U 4 ) n4 > max
( ni ? ni0 , ?i ??0 )i4=1
при ограничении
(4) n1 ?1 +?2(?2) n2 + ?3(?3) n3 + ?4(?4) n4 ? T.
Иногда к ограничению (4) добавляют ограничение
(5) ?i(?i) ? 16, i ? I,
которое в явном виде ограничивает максимальную продолжи-
тельность ежедневного рабочего времени каждого АЭ.
В задаче управления (3)-(4), помимо состава, ищется набор
ставок оплаты, в общем случае каждая для своего типа АЭ, то
есть предполагается использование унифицированной системы
стимулирования. Наряду с этим, существуют унифицированные
системы стимулирования (УСС), в которых условия оплаты труда
всех АЭ одинаковы. В рассматриваемой модели унифицирован-
ность системы стимулирования означает, что ставка оплаты
одинакова для всех АЭ. Обозначая эту ставку ? задачу формиро-
вания состава с УСС можно записать в следующем виде:
(6) (?1 ?1(?1) + U1 ) n1 + (? ?2(?) + U 2 ) n2 + (? ?3(?) + U 3 ) n3 +
+ (? ?4(?) + U 4 ) n4 > max
( ni ? ni0 )i4=1 , ? ??0
при ограничении
(7) n1 ?1 +?2(?) n2 + ?3(?) n3 + ?4(?) n4 ? T.
81
Обозначим K – оптимальное значение целевой функции (3),
KУСС – оптимальное значение целевой функции (6). Очевидно, что
всегда имеет место K ? RУСС.
Задача формирования состава системы (3)-(4) является уже
более сложной, чем задача управления продолжительностью
проекта, рассмотренная в предыдущем разделе. В частности, в
ней требуется определять не только оптимальные ставки оплаты,
но и оптимальное число АЭ того или иного типа. То есть в задаче
присутствует дискретная компонента. Тем не менее, задачи этого
класса легко могут быть решены численно при не очень большом
числе претендентов.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий свойства сформули-
рованных задач.
Пример 6. Пусть в условиях примера 5 T = 50, U i = 100. Ре-
шение задачи (3)-(5) представлено в таблице 11.

Тип АЭ ИТОГО
I II III IV
Ограничение
3 4 2 1 10
на число АЭ
Резервная
100 100 100 100
полезность
Минимальная
20 20 20 20
ставка
Ставка
20,00 25,52 20,00 30,60
оплаты
Число АЭ 2 1 2 1 6
Время 16,00 8,55 16,00 9,45 50,00
Затраты 840,00 318,21 840,00 389,17 2387,38
Табл. 11. Решение задачи (3)-(5) для примера 6

Решение задачи (5)-(7) для рассматриваемого примера пред-
ставлено в таблице 12.




82
Тип АЭ ИТОГО
I II III IV
Ограничение на
3 4 2 1 10
число АЭ
Резервная
100 100 100 100
полезность
Минимальная
20 20 20 20
ставка
Ставка оплаты 20,00 20,00 20,00 20,00
Число АЭ 2 2 2 1 7
Время 16,00 16,00 16,00 7,50 55,50
Затраты 840,00 840,00 840,00 250,00 2770,00
Табл. 12. Решение задачи (5)-(7) для примера 6

Решение задачи (5)-(7), с ограничением (7) типа равенства,
для рассматриваемого примера представлено в таблице 13.

Тип АЭ ИТОГО
I II III IV
Ограничение на
3 4 2 1 10
число АЭ
Резервная
100 100 100 100
полезность
Минимальная
20 20 20 20
ставка
Ставка оплаты 27,02 27,02 27,02 27,02
Число АЭ 2 2 1 1 6
Время 16,00 17,40 7,65 8,95 50,00
Затраты 1064,64 1140,51 306,68 341,75 2853,58
Табл. 13. Решение задачи (5)-(7) для примера 6

Отметим, что использование унифицированной системы сти-
мулирования приводи к росту затрат на 382,62 (ср. таблицы 11 и
12), то есть потери превышают 16%. Кроме того, в силу дискрет-
ности задачи, оказывается, что выполнение заказа большего
объема при унифицированном стимулировании может требовать
меньших затрат на стимулирование (ср. таблицы 12 и 13).
При ограниченном множестве претендентов с ростом размера
заказа оптимальным станет максимальный состав (то есть вклю-
чающий всех претендентов). Например, при T = 86 решением
83
задачи (5)-(7) будет максимальный состав со ставкой оплаты
34,07, что полностью совпадает с результатами примера 5 – см.
таблицу 9.
В заключение настоящего примера отметим, что решение за-
дач производилось в рамках пакета «Поиск решения» Microsoft
Excel и таблицы 9-13 экспортированы непосредственно из этой
программы. Таким образом, решение задач формирования состава
(при не очень высокой их размерности) может осуществляться в
рамках неспециализированных программных средств. •

<< Предыдущая

стр. 13
(из 19 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>