<< Предыдущая

стр. 4
(из 19 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

q(?-)


?

?+ ?-
0
Рис. 7. График функции q(?) в рамках УМД.


3
Пример 2. Пусть ?(?) = ?0 ?3 – ?0 (?- + ?+) ?2 + 3?0 ?- ?+ ?,
2
где ?+ ? ?- ? 3?+, а ?0 – нормирующая положительная константа.
График функции ?(?) приведен на рисунке 7. •
Если считается, что зависимость ?(?) известна, то «обрат-
ная» ей зависимость ?(?) показывает ставку оплаты, которая
1

побуждает агента отработать заданное количество часов. При-
мерный вид «функции» ?(?), «обратной» к приведенной на ри-
сунке 4 зависимости ?(?), изображен на рисунке 8.
На участке AB ставка оплаты возрастает с ростом числа ча-
сов, которые отрабатывает агент. На участке BD агент начинает
больше ценить рабочее время, а на участке DG привлекатель-
ность зарплаты опять превышает привлекательность досуга.

1
Достаточным условием существования обратной функции является
непрерывность и строгая монотонность исходной функции. Эти
требования нарушены у кривой, приведенной на рисунке 3, что и обу-
словливает употребление кавычек.
22
Например, для того, чтобы побудить агента отработать ?1 часов,
необходимо установить ставку оплаты, равную, как минимум, ?A.
Выделим следующие "ветви" зависимости ?(?) (и, соответст-
венно получающейся на ее основе зависимости q(?)): первая
ветвь соответствует начальному участку AB возрастания дохода
с ростом продолжительности рабочего времени (увеличения
продолжительности рабочего времени с ростом ставки оплаты),
вторая ветвь – первому участку BD убывания дохода с ростом
ставки оплаты (так называемая обратная ветвь на кривой обрат-
ного изгиба), третья ветвь соответствует второму участку DG
возрастания дохода с ростом продолжительности рабочего вре-
мени (увеличения продолжительности рабочего времени с рос-
том ставки оплаты) и т.д.
Наличие “парадоксального“ участка BCDEF обусловлено
немонотонностью функции ?(?) (см. участок ?4-?6 на рисунке 3).
Минимальным затратам на стимулирование, используемым при
формальном анализе теоретико-игровых моделей стимулирова-
ния [15, 21, 22], соответствует минимальная «ветвь»:
?min(?) = min {? ? 0 | ?(?) = ?}
функции ?(?), выделенная жирной линией на рисунке 8.

?(?)
G
F
?F
E
?E

D
C
?C

?B B

A
?A ?

?1 ?2 ?3 ?4 T
0

Рис. 8. Зависимость ставки оплаты
от продолжительности рабочего времени


23
Наличие двух разрывов (в точках ?1 и ?4) кривой ?min(?) мо-
жет интерпретироваться следующим образом. В рамках рассмат-
риваемой модели предпочтений агента существуют, как мини-
мум, два пороговых значения. Первое: для того, чтобы побудить
агента отработать небольшое количество часов (в пределе –
сколь угодно малое) необходимо установить конечную ставку
оплаты. Двойственным приведенному является утверждение, что
за очень малую (но ненулевую) ставку оплаты ни один агент не
согласится работать1. При этом необходимо принимать во вни-
мание, что величина этого порога (то есть минимальная субъек-
тивная оценка стоимости своего труда и затрачиваемого времени)
зависит от конкретного агента (см. экспериментальные данные
ниже).
Второе пороговое значение обусловлено тем, что при пре-
вышении продолжительностью рабочего дня некоторого значе-
ния (когда начинает доминировать эффект дохода) агенту долж-
ны быть предложены стимулы, достаточные для того, чтобы он
почувствовал, что дополнительное рабочее время позволяет ему
достичь качественно нового более высокого уровня полезности.
Действительно, с «экономической» точки зрения использование
ставок оплаты из отрезка [?+; ?-] невыгодно, так как на увеличе-
ние ставки оплаты и, следовательно, совокупного дохода (равно-
го затратам центра на стимулирование) агент реагирует снижени-
ем желательной продолжительности отрабатываемого времени.
Иными словами, в этом диапазоне увеличение затрат на стимули-
рование приводит к уменьшению количества рабочего времени,
что при условии монотонности функции дохода центра по числу
часов, отрабатываемых агентом, приводит к убыванию целевой
функции центра.
Итак, немонотонность функции ?(?) (существование участка
[?+, ?-] убывания этой функции) приводит к тому, что обратное
соответствие ?(?) не является однозначным. Возможным выхо-

1
Напомним, что мы считаем, что сутки, за исключением восьми часов
на сон и пр., делятся на рабочее время и время досуга. Тем самым мы в
первом приближении опускаем из рассмотрения время на дорогу от
дома до работы и т.д.
24
дом здесь является использование минимальной «ветви» (см.
рисунок 8).
Аналогичные проблемы возникают при попытке определе-
ния функции ?(?) по известной зависимости ?(?). Приведем
пример. Если график зависимости минимальной ставки оплаты
от продолжительности желательного при этой ставке рабочего
времени имеет вид, приведенный на рисунке 9, то график обрат-
ного соответствия ?(?) имеет вид, приведенный на рисунке 10.
Содержательно, при малой продолжительности рабочего дня для
обеспечения, например, постоянного значения суммарного дохо-
да значение ставки оплаты должно быть велико. С ростом про-
должительности рабочего дня величина ставки оплаты сначала
уменьшается, а затем начинает возрастать, что может объяснять-
ся быстрым ростом «затрат» (физических, интеллектуальных и
др.) агента при ? >> ?min. «Обратная функция» – зависимость
продолжительности рабочего времени от ставки оплаты ведет
себя неоднозначно. Желательная продолжительность рабочего
времени может уменьшаться с ростом ставки оплаты (доминиру-
ет эффект дохода – см. жирную ветвь на рисунке 10), а может и
возрастать (доминирует эффект замещения).


? ?




?min


?min
?
?
?min
?min
Рис. 9. Зависимость ставки Рис. 10. Зависимость
оплаты от продолжительности продолжительности рабочего
рабочего времени времени от ставки оплаты


25
Следовательно, немонотонность функции ?(?) приводит к
тому, что обратное соответствие ?(?) не является однозначным, и
наоборот. Возможным выходом здесь, как и ранее, является
использование минимальной «ветви» (см. рисунок 8), то есть
доопределение обратного соответствия следующим образом:
?min(?) = min {? ? 0 | ?(?) = ?}.
Содержательно, такое определение желательной продолжи-
тельности рабочего времени соответствует введению предполо-
жения, что, если при некоторой ставке оплаты агент безразличен
между работой в течение различного числа часов, то он при
прочих равных предпочтет работать меньше, то есть – увеличит
время досуга1.
Возникает закономерный вопрос – насколько полученные в
рамках рассматриваемой модели выводы о существовании поро-
гов и нескольких максимумов у функции ?(?) соответствуют
реальности. Даже гипотетических (не апеллирующих к экспери-
ментальным данным) рассуждений может быть несколько.
Первое заключается в том, что человек вряд ли мыслит в
«непрерывных» категориях и у него, наверное, существуют
субъективные пороги различения ставок оплаты. Например,
большинство агентов не «заметит» изменения ставки почасовой
оплаты в несколько долей процента. Поэтому функция ?(?) для
конкретного агента является дискретной и о ее «разрывах» мож-
но говорить лишь качественно.
Во-вторых, зависимость ставки оплаты от числа отрабаты-
ваемых часов получена косвенным образом – мы считали извест-
ной зависимость желательной продолжительности рабочего дня
от ставки оплаты и, используя ее, получили «обратную» зависи-
мость – минимальной ставки оплаты, побуждающей отработать
заданное число часов (см. более подробно ниже).

1
Одним из возможных объяснений этого и ему подобных «парадоксов»
является следующее: реальные предпочтения агента скорее всего
многомерны, то есть он оценивает каждую из альтернатив (доход,
продолжительность времени досуга и т.д.) одновременно по несколь-
ким критериям. При оценке различных альтернатив большее внимание
может уделяться тем или иным (в общем случае различным!) критери-
ям, что и приводит к «несогласованности» оценок.
26
Имея в своем распоряжении зависимости ?(?) и q(?), мы
можем решать задачу стимулирования. Из предшествующего
изложения следует, что для решения задачи стимулирования
необходимо, помимо множеств допустимых стратегий агента и
центра, знать функцию дохода центра и функцию затрат агента,
или для последнего – минимальные затраты на стимулирование.
Так как исследователь операций, как правило, находится на
позициях оперирующей стороны – центра, то можно считать, что
функция дохода центра известна (см. обсуждение «происхожде-
ния» целевой функции центра в [15, 19]). В рамках рассматри-
ваемой модели минимальными затратами на стимулирование
агента по отработке заданного количества часов является доход
агента, который он получает при условии, что ему назначается
ставка оплаты, побуждающая его отработать именно это число
часов1 (см. также раздел 1.4).
Таким образом, в рамках рассматриваемой модели идея ре-
шения задачи стимулирования заключается в следующем.
Зная зависимость ?(?), можно построить зависимости2: ?(?),
q(?) = ? ?(?) и q(?) = ? ?(?). Если действием агента является
выбор продолжительности рабочего времени: y = ? (при этом и
стимулирование ?(?), и доход центра H(?) зависят только от
количества отработанных им часов), то необходимо определить
оптимальное для центра значение продолжительности рабочего
времени: ?* = arg max {H(?) – q(?) }.
? ?[ 0;T ]
Если количество отработанных часов агента связано с его
действием более сложным (но известным центру и исследовате-
лю операций) образом, например, y = G(?), то минимальные
затраты на стимулирование по реализации действия y равны:

1
При использовании центром сдельной оплаты она может быть связа-
на с почасовой оплатой посредством установления нормативов време-
ни (быть может, гибких, то есть зависящих от количества уже
отработанных часов) на изготовление единицы продукции, являющейся
«единицей отсчета» при сдельной оплате.
Отметим, что, в силу неоднозначности «обратной» функции ?(?),
2

функции q(?) и q(?(?)) (а также q(?) и q(?(?)) в общем случае не совпа-
дут. Для их совпадения, в частности, достаточно, чтобы ?- = ?+.
27
?(y) = min q(?).
? ?{? ?0 |G (? )= y }
Оптимальным реализуемым действием y* будет действие,
доставляющее максимум целевой функции центра, то есть дейст-
вие, максимизирующее разность между функцией дохода центра
H(y) и минимальными затратами на стимулирование:
y* = arg max {H(y) – ?(y)}.
y?A
Итак, мы рассмотрели две модели предложения рабочей си-
лы, основывающиеся на дилемме «труд/досуг» в предположении
использования центром пропорциональной системы стимулиро-
вания. Напомним, что в первой модели предполагалось сущест-
вование функции индивидуальной полезности u(q, t), определен-
ной на множестве пар возможных доходов и
продолжительностей свободного времени. Во второй модели
подразумевалась известной зависимость ?(?) желательной про-
должительности рабочего времени от ставки оплаты. Интуитивно
понятно, что эти модели должны быть достаточно тесно взаимо-
связаны, являясь скорее всего частными случаями некоей более
общей модели индивидуального поведения на рынке труда (см.
раздел 1.4).


1.3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ
ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТРУДА: ТЕОРИЯ

Как следует из рассмотренной выше модели индивидуально-
го поведения на рынке труда, во-первых, предложение рабочей
силы определяется предпочтениями агента на множестве «до-
ход ? свободное время». Во-вторых, имея зависимость желатель-

<< Предыдущая

стр. 4
(из 19 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>