<< Предыдущая

стр. 2
(из 9 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

предлагает программу распределения, в которой он отражает свое
мнение о приоритете направлений относительно друг друга,
учитывая наиболее важные, по его мнению, критерии. Так один
эксперт может считать, что инвестиции должны принести
максимально возможную прибыль; другой – вложения могут дать
более низкий, но гарантированный процент доходности, т.е.
главным для этого эксперта является снижение риска, вероятности
разорения. Положим для человека, отвечающего за распределение
средств, мнения всех экспертов имеют одинаковую важность; в

10
своем окончательном решении он хочет как можно лучше отразить
их все. Его распределение из всех возможных будет являться
наиболее “похожим” на распределения экспертов.
Возможен случай, когда эксперт предлагает не единственный
вариант, а выделяет целое множество устраивающих его программ
инвестирования. Положим имеется m экспертов и n вариантов
деятельности. Каждый эксперт формулирует свои условия, при
которых, по его мнению, предприятие будет работать наиболее
эффективно (например, ограничения на расход ресурсов и
оборудования, на людские ресурсы и ограничения на фонд
заработной платы); или же каждый из них имеет свою цель
(например, увеличить суммарную прибыль предприятия или
уменьшить рискованность вложений, увеличить среднюю
заработную плату, уменьшить период окупаемости и энергоемкость
производства), и при выполнении сформулированных ограничений
предприятие будет добиваться лучших показателей в определенной
области.
Каждый эксперт выделяет в пространстве Rn переменных
X=(x1, x2, ..., xn) (где xi – доля cредств, вкладываемых в i-ое
направление) множество ?j ( j = 1, m ) удовлетворяющих его
вариантов распределения средств. Наиболее простым случаем
является задание каждым экспертом множества, удовлетворяющих
его векторов, с помощью линейных ограничений. Ограничения
могут иметь, например, различный экономический смысл:
xi – сумма средств, которую планируется вложить в i–ое
направление;



11
n

? xi = T , xi ? 0 - общие вложения не должны превышать
i =1

имеющейся суммы, предназначенной к инвестированию;
n

? hli ? xi ? H l ,?l = 1, p -ограничение на расход ресурсов l-го
i =1

вида, где hli –расход l-го ресурса на выполнение единицы работ i-го
направления (в стоимостном выражении);
если Dq –полезный фонд времени работы q-го вида оборудования
(например, измеряемое в сменах), а dqi –норма затрат q-го
оборудования для выполнения единицы работ i-го вида, то
n

? d qi ? xi ? ( ? )Dq означает ограничение на время работы
i =1

(требование на загрузку оборудования на срок не меньший Dq);
n

? t si ? xi ? ( ? )Ts , где tsi-трудоемкость s-го вида профессиональных
i =1

рабочих для выполнения единицы работ i-го вида, Ts –
трудоемкость в среднегодовом (месячном) исчислении s- ой
профессиональной группы.
Тогда если множества ?j не пересекаются, то, по аналогии с
определением медианы Кемени, результирующим, наиболее точно
отражающим мнение каждого эксперта будем считать вариант X*,
сумма расстояний от которого до каждого из множеств ?j будет
наименьшей.
Расстояние от точки X до множества ? определяется по
формуле
d ( X , ? ) = min ? ( X ,Y ) , (1.2.1)
Y ??


12
где ?(X,Y) – расстояние между точками X и Y , определяемое
по формуле
n
? ( X ,Y ) = ? x i ? y i . (1.2.2)
i =1

Если же множества ?j пересекаются, то лучшее
распределение будем искать с помощью функции общей прибыли
m
предприятия на множестве ?, определяемом как ? = ? ? j .
j =1

Решение проблемы может быть получено с помощью
следующего алгоритма:
Проверяем непустоту каждого из множеств ?j , j = 1, n . Если
среди ?j обнаружено хотя бы одно пустое множество, об этом
делается сообщение.
Если множество ? = ? ?j ? O ,то решается задача
F ( X ) > max , (1.2.3)
m
X ???j . (1.2.4)
j =1

Функция F(X) определяет полезность от распределения
средств X, например, суммарную прибыль.
Если ? = O, то определяем вариант распределения X*,
суммарное расстояние от которого до каждого из множеств ?j
минимально, для чего решается задача
m

? d ( X ,? j ) > min , (1.2.5)
X ?0
j =1

Учитывая определение расстояния между точкой и
множеством (1.2.1) и между двумя точками (1.2.2), ее можно
переписать в виде:
13
m n

?? xi ? y j i > min , (1.2.6)
j =1 i =1

X ?0, (1.2.7)
Y j ? ? j , j = 1, 2 , ..., m. (1.2.8)
Решение задачи (1.2.6)-(1.2.8) может быть получено в
результате выполнения следующей последовательности действий:
Для каждой координаты Yij вектора Yj и для координат
вектора X определяется верхняя и нижняя границы ai j и bi j , такие
что
ai j ? Yij?bij . (1.2.9)
Задается N – количество перебираемых точек. С помощью
метода Соболя строится последовательность точек, равномерно
распределенных в параллелепипеде (1.2.9).
Из точек, построенных в пункте 2, отбираем те, которые
принадлежат допустимой области G, определяемой ограничениями
(1.2.7)-(1.2.8).
Отобранные в (3) точки подставляем в целевую функцию
(1.2.6). Получаем значения F(Z1), F(Z2), ..., F(ZN’), где Z=(X1,..., Xn,
Y11,..., Y1n,..., Ym1,..., Ymn,). Среди F(Zi) находим наименьшее F(Zi0) и
полагаем F(Zi0)?min F(Z).
Вторая предлагаемая схема формирования результирующего
распределения отражает ситуацию, при которой каждый эксперт
придерживается четко определенного мнения о необходимом
уровне поддержки каждого направления.
Управляющему необходимо распределить ресурсы между
некоторым конечным числом направлений, при чем в каждое из них
должна быть вложена хоть какая-то сумма средств. Пронумеруем
14
все программы деятельности, пусть i – порядковый номер
направления ( i = 1, n ). Затем формируется множество критериев, по
которым будет оцениваться эффективность каждого направления
деятельности. Далее будем считать, что мнение каждого эксперта
соответствует ранжированию по одному из критериев.
Производится сбор исходных данных по каждой из
рассматриваемых программ инвестирования. Положим, всего
имеется m оцениваемых параметров. Каждый j-ый эксперт дает
свой вектор предпочтений Pj=( Pj1, Pj2, ..., Pjn), j = 1, m , где Pji–
порядковый номер проекта, занимающего в ранжировании по j-му
критерию i-ое место. В каждом ранжировании первое место
занимает наиболее привлекательное, с точки зрения
рассматриваемого критерия, для предприятия направление
деятельности и далее по убыванию. Затем каждому вектору Pj
поставим в соответствие вектор ?j = (?j1, ?j2, ...,?jn), сформированный
по правилу: координата ?ji – число направлений, которые согласно
j-му частному критерию являются более предпочтительными, чем
направление имеющее порядковый номер i.
Пример. Имеется 4 программы инвестирования со
следующими параметрами:

Исходные характеристики программ инвестирования
I II III IV
Планируемая прибыль 15 30 20 40
Оценка риска 0.3 0.2 0.4 0.8
Средняя зар. плата 1500 1600 1800 1700

?1 = (3, 1, 2, 0) , ?2 =(1, 0, 2, 3), ?3 =(3, 2, 0, 1).

15
Следующим шагом является поиск группового
ранжирования, в котором наилучшим образом будут представлены
индивидуальные предпочтения. В качестве такового будет
рассматриваться медиана Кемени, определяемая следующим
образом:
m
? = min ? d ( ? , ? j ),
*
? j =1

d( ? ,? j )
где – расстояние между двумя ранжированиями,
n
определяемое по формуле d ( ? , ? ) = ? ? i ? ?
j j
.
i
i =1

Для отыскания медианы Кемени, во-первых, строим матрицу
потерь R={rkl}: рассматриваются векторы, в которых направление с
номером i ( i Є {1, 2, ..., n}) расположено последовательно от 1-го до
n-го места: ? = (?1, ?2,..., ?k, ..., ?n) – ранжирование, в котором k-ый
проект стоит на l-ом месте (т.е. ?k= l-1 ), тогда
m
rkl = ? ? k ? ? ? k .
? =1

Для данных из примера: r11 =7; r 12 =4; r13 =3; r14=2; r21=3;
r22=2; r23=3; r24=6; r31=4; r32=3; r33 =2; r34=5; r 41=4; r42=3;
r43=4; r44=5.
Во-вторых, решаем задачу о назначениях, к которой сводится
отыскание медианы Кемени:
n n

?? rkl ? x kl > min, (1.2.10)
k =1 l =1

n

? x kl = 1, k = 1, n , (1.2.11)
k =1



16
n

? x kl = 1, l = 1, n (1.2.12)
,
l =1

x kl ? {0,1} k , l = 1, n , (1.2.13)
где xkl = 1, если k-ая альтернатива назначена на l-ое место, и xkl =0 в
противном случае. Матрица X={xkl } при выполнении условий
(1.2.10)–(1.2.13) соответствует некоторому ранжированию. В
результате получаем матрицу по которой
X*={x*kl},
восстанавливаем вектор группового предпочтения P* , анализируя
матрицу X* по строкам: если x*kl=1, то в векторе P* полагаем p*l =
k. В примере x14=1; x21=1; x33=1; x42=1 ; cледовательно P* = (2, 4,
3, 1). Далее с помощью метода парных сравнений рассчитываем
ранговые коэффициенты, которые и будут соответствовать части
средств, вкладываемых в каждое из направлений. По упорядочению
P* составляем матрицу парных сравнений L={?kl} k , l = 1, n для
группового предпочтения, элементы которой определяются : ?kl=2,
если согласно ранжированию P* направление, имеющее
порядковый номер k, является более предпочтительным, чем l-ое
направление ; ?kl =1, если k- ый и l-ый виды деятельности
равнопредпочтительны; и ?kl =0, если k- ый менее предпочтителен,
чем l-ый.
n
Затем считаем сумму элементов каждой строки ? k = ? ? kl и
?
l =1

n
величину ? ? = ? ? k .
?
k =1

Далее находим доли, соответствующие каждому направлению
деятельности:
? k = ? k / ? ? k = 1, n.
?
17
В рассмотренном примере ?1 =0.0625; ?2 =0.4375; ?3=0.1875;
?4=0.3125.

<< Предыдущая

стр. 2
(из 9 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>