<< Предыдущая

стр. 4
(из 9 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

времени, аргумента, x функции, функции, ное
Yприбл отклонение
t Y
1 150.00 565.92 515.00 -0.09
2 170.00 583.50 610.00 0.05
3 210.00 611.90 630.00 0.03
4 280.00 644.15 623.00 -0.03
5 400.00 668.66 670.00 0.00
3 функция
момент Значения Значения Значения относитель
времени, аргумента, x функции, функции, ное
Yприбл отклонение
t Y
1 270.00 757.75 740.00 -0.02
2 320.00 943.27 920.00 -0.02
3 345.00 999.29 1,100.00 0.10
4 500.00 1,095.03 1,150.00 0.05
5 620.00 1,099.55 1,080.00 -0.02
25
Найденные параметры кривых приведены в таблице 1.3.2.
Таблица 1.3.2
№ кривой
k b a
п/п
1 1000 0.8 0.0010
2 680 0.89 0.0099
3 1100 100 0.0200

Пятый столбец таблицы 1.3.1 содержит относительные
отклонения точного значения дохода от аппроксимированного
(определяется по формуле (1.3.6)), а таблица 1.3.3 верхние и
нижние границы отклонений.
Таблица 1.3.3
1 кривая
Верхняя граница 0.04
Нижняя граница -0.08
2 кривая
Верхняя граница 0.01
Нижняя граница -0.08
3 кривая
Верхняя граница 0.01
Нижняя граница -0.09

Опираясь на метод имитационного моделирования, построена
выборка, каждый элемент которой представляет собой вектор.
Координата вектора – это доля вложений в одну из сфер
деятельности. Таблица 1.3.4 представляет собой основную рабочую
таблицу задачи. Ее последний столбец содержит ожидаемое
значение дохода для соответствующего варианта распределения,
вычисляемое по формуле (1.3.10).


26
Таблица 1.3.4
Фрагмент выборки для метода Монте-Карло
Распределение средств между 3 видами деятельности
всего доход 1- доход 2- доход 3- Валовый
x1 x2 x3
вложен го го го доход
ий направле направл направле
ния ения ния
337 777 525 1639 625.0 664.6 1138.7 2428.3
1842 113 44 1999 871.4 515.1 26.9 1413.4
456 1320 13 1789 651.5 664.8 14.6 1331.0
135 1667 70 1872 577.9 664.8 44.5 1287.3
1339 61 421 1821 811.7 447.2 1117.2 2376.2
580 777 551 1908 678.1 664.6 1140.0 2482.7
1829 74 3 1906 870.1 465.7 12.0 1347.8
1394 421 80 1895 819.3 655.8 53.9 1529.0
1345 215 217 1777 812.5 601.2 495.7 1909.4
448 1133 269 1850 649.8 664.8 781.7 2096.3
1732 232 30 1994 860.2 610.2 20.4 1490.8
81 984 787 1852 565.0 664.8 1141.8 2371.7
1558 310 126 1994 840.3 638.4 126.2 1605.0
860 236 234 1330 733.6 612.2 592.3 1938.0
1374 294 103 1771 816.6 634.1 83.1 1533.8
659 648 343 1650 694.5 663.9 1033.5 2391.8
1180 591 72 1843 788.2 663.2 46.2 1497.5
1863 46 69 1978 873.4 425.0 43.7 1342.1
1247 669 47 1963 798.4 664.1 28.5 1490.9

Максимальное значение дохода составило 2559.1 и
соответствует распределению суммы 1974 ед. В следующей
пропорции (1 112; 418; 444). Следующий наиболее выгодный
вариант вложений (доход - 2550.2 ед.) предполагает распределение
1990 ед. между тремя направлениями в соотношении (1219, 369,
402), т.е. каждому направлению и в первом и во втором случае
соответствует примерно одинаковая доля общей суммы.


27
Второй подход. Поскольку второй вариант постановки
стохастической задачи основан на двухкритериальной задаче,
имеющей следующие целевые функции
доход > max,
(1.3.11)
риск > min,
то обратим внимание на возможности количественной оценки
указанных критериев и подходы к решению, связанные с векторным
характером задачи.
Особенностью этой задачи, как и любой задачи векторной
оптимизации, является принятие решения, последствия которого
станут до конца ясными лишь в будущем. Как и в любой жизненной
ситуации, эти последствия не могут быть объективно оценены при
помощи математических расчетов. Каждый получаемый,
эффективный по Парето, вариант решения имеет оценку по двум
противоречивым критериям, расчеты не могут определить
компромисс между этими критериями. Но поскольку выбор одного
из вариантов должен быть осуществлен в любом случае, то
неопределенность, связанная с наличием двух критериев, может
быть устранена только на основе информации, полученной от
экспертов или же с помощью внешнего критерия, не входящего в
состав целевых функций задачи.
Количественная оценка критерия дохода определяется,
согласно описанному выше подходу, как сумма прибылей,
полученных во всех сферах деятельности. Этот подход, отличный
от классической оценки доходности портфеля вложений как
средневзвешенной доходностей его составляющих, кажется
разумным для моделирования зависимости «затраты -выпуск»,
поскольку развитие производства в любой отрасли в некоторой

28
степени соответствует жизненному циклу, при этом существуют
пороговые значения сумм инвестиций, при переходе через которые
изменяется величина прибыли на единицу вложений.
При определении оценки риска портфеля вложений кроме
классического метода измерения риска с помощью ковариаций
n n n n n

??C ?? +? ?C
? Xi ? X j = ?X ? Xi ? X
2 2
i i
ij ij j
i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 , j ? i

могут быть использованы и альтернативные подходы. Например,
определение риска с использованием понятий теории информации,
позволяющие оценить содержание, полезность полученных данных
для их потребителя. Применительно к проблеме распределения
средств: информация, полученная от экспертов, может быть названа
полезной, если после того, как управляющий учел ее при принятии
решения, были достигнуты более высокие результаты. При анализе
распределения инвестиций будем использовать понятия теории
информации: неопределенность и энтропия. Величину
n n
N ( X / X ) = ? ? xi ? ln x , где xi > 0 и ? xi = 1 ,
* *
i
i =1 i =1

(если брать log2 , то N(X*/X) измеряется в битах) называют
неопределенностью для ситуации, когда истинное распределение
есть X*, а человек , решающий задачу, думает, что оно есть X.
Изменение неопределенности можно интерпретировать как процесс
«запасания» полезной информации. За нулевой уровень часто
удобно принимать запас полезной информации при xi = 1 n , i = 1, n .
Если мы ничего не знаем о распределении X*, то в некотором
смысле гипотеза xi = 1 n является оптимальной: если мы не имеем
сведений о событиях, объектах, то будем считать их
29
равновероятными, имеющими одинаковые характеристики. При
таком подходе запас полезной информации, содержащийся в
гипотезе X относительно задачи с распределением ответа X*, дается
соотношением
I n = log( n ) ? N ( X * / X ) .
Т.о. полезная информация зависит не от точности, с которой
известны X, а от того, насколько X соответствует X*.
Нижней границей неопределенности является энтропия
распределения X*, равная
n
H ( X ) = ?? x* ? ln x*
*
i i
i =1

Модифицируем определение энтропии, нормируем ее:
H " ( X ) = 1 ? H ( X ) / ln( n )
Величина H?(X) принимает значения из интервала [0, 1), H?(X)
= 0 при xi = 1 n для i = 1, n . Ее значение можно рассматривать как
меру риска портфеля вложений. H?(X) показывает степень
отклонения распределения X от равномерного распределения (1/n,
1/n, ..., 1/n). При равномерном распределении средств велика
вероятность того, что выбор сделан неправильно, и чем меньше
H?(X), то есть чем ближе распределение к равномерному, значит,
тем больше возможность ошибиться при наборе портфеля, и тем
больше риск; т.е. неопределенность рассматривается как мера
риска, возможности сделать неправильный выбор.
Если мы хотим при измерении риска учитывать только
вероятность нежелательных результатов инвестирования, то
простейшим способом его измерения является вероятность
«недобора», измеряющая шансы на то, что доходность направления
30
окажется ниже ожидаемой доходности. По существу, это доля
вероятностного распределения, лежащая справа от ожидаемой
доходности.
Более сложные способы измерения риска получения
доходности ниже ожидаемой производятся с помощью семейства
статистических данных, известных как «частичные моменты низких
порядков». Например, «средний недобор» измеряет среднее
отклонение доходности ценной бумаги вниз от ожидаемой
доходности. Он является более полезным, чем вероятность
недобора, т.к. принимает во внимание величину каждого
отрицательного отклонения и показывает какова может быть
величина уменьшения относительно ожидаемой доходности.
Мерой риска, учитывающей лишь случаи снижения
доходности по отношению к среднему значению, является
полувариация. Она рассчитывается как обычная вариация кроме тех
случаев, когда доходность выше ожидаемой.
Еще одним альтернативным методом измерения риска
является определение величины потерь, такой, что потери в
доходности портфеля за определенный период времени с заданной
вероятностью не превысят этой величины (стоимостная оценка
риска VAR).
Перейдем к формулировке задачи, в которой второй критерий
– оценка рискованности предлагаемого варианта распределения
средств – может определяться одним из описанных выше способом.
«Постановка интервальной задачи». Приводимая ниже задача
отличается от классических стохастических моделей планирования
производства тем, что кроме областей возможного изменения
параметров (оценок доходности каждой сферы деятельности;
31
величин, характеризующих рискованность вложений средств в
каждое из рассматриваемых направлений) содержит еще и два
критерия. Т.е. отражает как бы два вида неопределенности:
неточность, неполноту, частичную недоступность информации о
внешней среде и противоречивость внутренних целей любой
производственной деятельности. Указанное обстоятельство
приводит к некоторым изменениям в применении классических
критериев принятия решений.
Рассмотрим математическую постановку задачи. В реальной
ситуации точные значения внешних переменных обычно
неизвестны, поэтому возникает необходимость привлечения других
методов, которые способны дать представление о значениях и
закономерностях изменения переменных в течение того периода, на
который строится прогноз. Далее предлагается подход к решению
задачи распределения средств на основе модели, экзогенные
параметры которой предварительно оценены по статистической
информации.
Возьмем в качестве интервальной оценки будущей
доходности сферы деятельности отрезок, задаваемый минимальным
и максимальным ее значением в предыдущих периодах. При этом
необходимо быть уверенным, что в следующем периоде
существенных изменений на рынке не произойдет. Т. о.
сформируем вектор верхних и нижних границ
min E it ? E i ? max E it (1.3.12)
t t

или
E?E?E .


32
Аналогичным образом определим границы для матрицы
ковариаций:
C ? C ? C или cij ? cij ? c ij , (1.3.13)

где cij = min cij , cij = max c ij .
t t
t t

Приходим к задаче, о коэффициентах которой известно лишь
то, что они находятся в некотором множестве, отражающем все
реальные ситуации:
min X T C T X , C ? C ? C , (1.3.14)
X

max E T X , E ? E ? E , (1.3.15)
X

<< Предыдущая

стр. 4
(из 9 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>