<< Предыдущая

стр. 10
(из 45 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2/Дх, в то время как сама интенсивность смертности априори может
расти неограниченно. Поэтому есть все основания при анализе
интенсивности смертности пользоваться формулой Сэчера [Sacher,
1956], что и было сделано в данной книге.
Интенсивность смертности, так же как и вероятность смерти,
отражает смертность лишь в изучаемой возрастной группе и не
меняется с неизбежностью при произвольном изменении смертности
в других возрастах. Однако в отличие от вероятности смерти
интенсивность смертности не зависит от величины возрастного
интервала, а расчеты с использованием этого показателя необычайно
просты и не требуют применения алгебры теории вероятностей.
Поскольку интенсивность смертности в отличие от вероятности
смерти в принципе может принимать сколь угодно большие значения,
этот показатель хорошо отражает динамику высокой смертности в
старческом и младенческом возрастах. Наконец, следует отметить,
что интенсивность смертности определяется совершенно так же, как
интенсивность отказов в математической теории надежности.
Поэтому использование данного показателя значительно облегчает
применение идей и методов теории надежности при построении и
проверке математических моделей смертности. Все это делает
интенсивность смертности наиболее удачным и "правильным"
показателем при поиске законов распределения продолжительности
жизни.
45

Краткий обзор функций, описывающих распределение продолжительности жизни. Анализ работ, посвященных поиску "законов"
смертности и продолжительности жизни, подтверждает, что именно
интенсивность смертности обычно выбирается в качестве изучаемого
показателя.
Одна из первых и наиболее удачных попыток математически выразить зависимость смертности от возраста была предпринята английским актуарием (специалистом по страхованию жизни) Б. Гомперцем
еще в 1825 г. [Gompertz, 1825]:

где u.Cc) — интенсивность смертности в возрасте х; l(x) — число доживающих до возраста х, а а и R — параметры уравнения. Эта формула. описывающая смертность людей старше 20 лет, была названа
законом Гомперца, а ее параметры — параметрами Гомперца. Впоследствии этот закон стал широко использоваться для описания
смертности лабораторных животных.
Гомперц предложил следующее теоретическое обоснование этой
эмпирической закономерности. Допустим, что скорость уменьшения
"сопротивляемости смерти" пропорциональна самой сопротивляемости. Поскольку интенсивность смертности ц(дс) служит мерой
человеческой подверженности смерти, Гомперц принял в качестве
меры сопротивляемости обратную ей величину 1/ц.(х) , получив
уравнение:

где а — неотрицательный параметр. После интегрирования и упрощения этого уравнения получается формула (10).
В своей работе Гомперц отмечал, что наряду со смертностью,
экспоненциально растущей с возрастом, может существовать и компонента смертности, от возраста не зависящая. Возможно, что смерть
может быть следствием двух сосуществующих причин: одна из них
случайная без предшествующей предрасположенности к смерти или
износу; другая — износ или повышенная неспособность противостоять деструкции [Gompertz, 1825]. Однако при анализе имевшихся
тогда таблиц смертности Гомперц счет возможным ограничиться
лишь экспоненциальной составляющей смертности. Лишь через 35 лет,
в 1860 г., другой актуарий — У. Мейкем добавил в формулу Гомперца
это не зависящее от возраста слагаемое [Makeham, I860]. Данное
слагаемое (обозначаемое обычно буквой А) получило название параметра Мейкема. Таким образом, появилась формула, известная сейчас
как закон Гомперца—Мейкема:

46

закона Гомперца. Так, в некоторых работах использовалась квадратичная форма уравнения [El Shaarawi et al„ 1974; Мамаев. Наджарян.
1987]:

Риссер предложил вместо квадратичной зависимости использовать
полином [см.: Le Bras, 1976]:

Сам Мейкем впоследствии дополнил формулу Гомперца—Мейкема
слагаемым, линейно зависящим от возраста [см.: Henderson, 1915]:

Другая модификация формулы Гомперца—Мейкема выглядит
следующим образом [см.: Henderson, 19151:

Иной путь усложнения функции Гомперца состоит в использовании так называемых логистических уравнений. Наиболее известным из них является уравнение Перкса [Perks, 1932]:

Интересно отметить, что данная формула может быть теоретически
выведена как один из частных случаев модели цепного лавинообразного разрушения организма при старении [Гаврилов, 1987; см.
также раздел 6.4 данной книги]. Бирд [Beard, 1959] предложил более
простой вариант формулы Перкса:

Принципиально иной тип распределения был предложен Вейбуллом для описания вариабельности по "срокам жизни" технических
систем [Weibull, 1951]. Это распределение, известное сейчас как закон
Вейбулла, широко используется в теории надежности. Интенсивность
отказов (аналог интенсивности смертности) в данном случае является степенной функцией возраста

В последнее время распределение Вейбулла стало применяться и
для описания вариабельности по срокам жизни организмов [Rosen-
berg et al., 1973; Slob, Janse, 1988].
В некоторых работах используется обобщенный закон Вейбулла
[см.: Гаврилов, 1980]

Нам представляется целесообразным дополнить список приведенных выше формул еще одной, которую мы назвали обобщенным
47

биномиальным законом смертности;

Эта формула при одних соотношениях параметров близка к формуле
Гомперца—Мейкема, а при других — к обобщенному закону Вейбулла,
объединяя, таким образом, два разных класса распределений. Действительно, если параметр Ь оказывается много меньше параметра с,
то обобщенный биномиальный закон смертности совпадает с обобщенным законом Вейбулла. Если, наоборот, параметр Ь оказывается
много больше параметра с, то обобщенный биномиальный закон
смертности совпадает с законом Гомперца—Мейкема, причем R = b", a
а = nJL. Мы обнаружили, что биномиальный закон смертности может
Ь
быть теоретически выведен из моделей, приводящих обычно к закону
Вейбулла, если только дополнительно учитывать неоднородность
популяции организмов по числу исходно имеющихся дефектов в
организме (см. разделы 6.7 и 6.8 данной книги).
Значительно более сложную формулу, обобщающую законы Гомперца и Вейбулла, предложил Бриллингер [Brillinger, 1961]:

Иногда за основу берется не интенсивность смертности, а другие
показатели. Так, в исследованиях некоторых актуариев использовалась формула:

где q-ц — вероятность смерти, &.F(x) — полином нужной степени
[Keyfitz, 19821.
Джонсон и Павелец [см.: Economos, 1980a] предложили следующую
формулу для числа доживающих:

Экономос предлагает аппроксимировать зависимость смертности от
возраста двумя кривыми. Первая из них описывает увеличение доли
умерших в ранних возрастах:

где т(х) — доля умерших. Вторая зависимость описывает уменьшение
доли выживших в поздних возрастах:

где /Ос) — доля выживших, а 1р и Хр — соответственно число доживающих и возраст начала зависимости. Таким образом, в полулогарифмических координатах эти зависимости имеют вид двух прямых
48

линий — вначале восходящей для доли умерших, а затем нисходящей
для доли выживших.
Некоторые исследователи предпочитают использовать формулы,
описывающие изменение ожидаемой продолжительности жизни с
возрастом. Так, Харди предложил следующую формулу [см.: Keyfitz,
1982]:

Стеффенсен использовал другую зависимость [см.: Le Bras, 1976]:

Большинство приведенных выше формул пригодны для описания
смертности лишь взрослых половозрелых особей. Существуют,
однако, попытки описать смертность на всем возрастном интервале.
Первой попыткой такого рода. по-видимому, следует считать
формулу Виттстейна [см.: Henderson, 19151:

Анализ этой формулы, приведенный в книге Хендерсона, показывает, что первый член описывает смертность взрослых людей, а
второй — "аддитивную смертность в раннем детстве".
В настоящее время из формул, описывающих смертность во всем
возрастном интервале, наиболее известна формула, предложенная
Хелигманом и Поллардом [Heligman, Pollard, 1979]:

где q^ — вероятность смерти в течение года. Первое слагаемое
описывает детскую и младенческую смертность, а последнее —
смертность стариков, второе же слагаемое аппроксимирует пик
смертности, наблюдаемый в районе 20 лет и связанный в основном с
несчастными случаями.
Перечень формул, предложенных для аппроксимации функции
распределения продолжительности жизни, можно было бы продолжить [Henderson, 1915; Le Bras, 1976; Keyfitz, 1982; Hsieh, 1985].
Однако и так видно, что в настоящее время нет недостатка в формулах, описывающих это распределение. Проблема заключается в том,
чтобы из всех возможных формул выбрать такую, которая бы
действительно отражала суть изучаемого явления и способствовала
бы пониманию механизмов вариабельности по срокам жизни. Вместе с
тем искать формулу распределения продолжительности жизни путем
простого перебора всех возможных вариантов — значит, выполнять
неблагодарную работу в надежде на счастливый случай. С тем же
успехом можно попытаться решать задачи, подставляя возможные
ответы. Поэтому прежде всего необходимо сформулировать методологические принципы, позволяющие прийти к необходимой формуле кратчайшим путем.
49

Методологические принципы выбора закона распределения
продолжительности жизни. Сформулируем общие принципы,
которыми обычно руководствуются исследователи* при решении
подобных задач.
1. Принцип теоретической обоснованности. Согласно этому
принципу, следует использовать лишь уравнения, имеющие теоретические обоснования. Тогда запись информации с помощью такого
уравнения является одновременно и первым шагом к ее расшифровке.
Исходя из данного принципа, особого внимания заслуживают не
эмпирические формулы, используемые при страховании жизни, а
зависимости, выведенные из различных теоретических представлений.
2. Принцип универсальности. Стремление выявить общие закономерности, справедливые для возможно более широкого круга явлений природы, отражает самую суть научного мировоззрения. В
соответствии с этим принципом особую ценность представляют
именно общие законы распределения длительности жизни, справедливые для самых разных организмов, включая человека.
3. Принцип достаточной аппроксимации при наименьшем числе
параметров. Формула, удовлетворяющая этому принципу, дает наиболее компактную запись информации, что позволяет восстанавливать распределение при минимальном числе наблюдений [Keyfitz,
1982]. Данный принцип является частным случаем идеи. известной
под названием "бритва Оккама": "не следует умножать число сущностей сверх необходимости". Применительно к проблеме продолжительности жизни этот принцип ориентирует не на абсолютно точное
описание наблюдаемых распределений по срокам жизни с помощью
многопараметрических формул, а на использование моделей, отражающих наиболее яркие особенности таких распределений. В этой
связи особенно перспективным является факторный анализ смертности. позволяющий определить минимальное число параметров,
необходимое для ее описания.
4. Принцип локального описания Поскольку в развитии многих
систем бывают критические периоды, когда они качественно меняют
свои свойства и поведение [Жирмунский, Кузьмин, 1980], не следует
пытаться описывать процесс сразу во всем диапазоне. История науки
показывает, что более эффективен путь локального описания процесса с последующей "стыковкой" научных подходов в рамках нового,
более общего представления. Следовательно, если предполагаемый
закон распределения продолжительности жизни справедлив лишь на
ограниченном возрастном интервале, это еще не является основанием для критического к нему отношения. Ограниченная приложимость закона указывает не на его ошибочность, а только на то. что он
является лишь частным случаем другого, более общего и неизвестного пока закона.
* Эти принципы, к сожалению, редко используются одновременно в одном и том же
исследовании
50

Если руководствоваться приведенными выше принципами и
обработать достаточно большой массив фактических данных, то
окажется, что закон Гомперца—Мейкема до сих пор во многих
отношениях лучше большинства других известных формул. Поэтому
следует более подробно остановиться на данном законе и аргументах в его пользу.
2.5. ЗАКОН ГОМПЕРЦА-МЕЙКЕМА
Начнем рассмотрение вопроса с анализа данных по продолжительности жизни традиционного объекта генетики — плодовой
мушки Drosophila melanogaster. Если обработать данные по выживаемости большой группы одновременно родившихся генетически
идентичных особей, которые содержатся в стандартных лабораторных условиях, то выявляется интересная закономерность. Оказывается. что на значительном возрастном интервале интенсивность
смертности растет с возрастом по закону геометрической
прогрессии (экспоненциально, в соответствии с формулой Гомперца)
На рис. 2 приведена зависимость логарифма интенсивности
смертности от возраста дрозофил, которая с точностью калибровочного графика ложится на прямую линию. Действительно.
коэффициент корреляции между логарифмом интенсивности смертности и возрастом достигает 0,999 при 11 точках в зависимости. Та же
самая закономерность справедлива и для самцов крыс линии Вистар
(рис 3)
Иногда приходится слышать возражения, что подобная линейность
ничего удивительного не представляет, поскольку многие зависимости в логарифмическом масштабе выглядят как прямые. Рис. 4 содержит ответ на это замечание. На нем приведена зависимость
логарифма риска гибели от возраста самок крыс линии Вистар. На том
же графике пунктиром приведена теоретическая зависимость, рассчитанная для случая, если бы распределение по срокам жизни
лабораторных крыс следовало нормальному закону с той средней и
дисперсией, которые наблюдаются в эксперименте. Видно, что
экспериментальные точки гораздо лучше ложатся на прямую линию,
чем на теоретическую зависимость, проведенную пунктиром, что еще
раз подтверждает необоснованность использования нормального
закона для описания распределения по срокам жизни.
Приведенные выше примеры экспоненциального роста интенсивности смертности с возрастом являются далеко не единственными.
Так, для тех же лабораторных дрозофил было найдено восемь таблиц
смертности, построенных для популяций с исходной численностью
свыше 1000 особей [Hall, 1969; Pearl, Parker, 1921]. При обработке этих
таблиц оказалось, что во всех случаях наблюдается линейный рост
логарифма интенсивности смертности с возрастом, о чем можно, в
частности, судить по высоким значениям коэффициента корреляции
между переменными (г = 0,97—0,99, табл. 4).
51


Рис. г. Зависимость логарифма интенсивности смертности от возраста дрозофнл
Рассчитано и построено на основании таблицы выживания 2400 самок Drosophila
melanogasler линии Canton-^, опубликованной в работе [Hall, 1969]. При расчете
интенсивности смертности был выбран трехдневный возрастной интервал
Рис 3. Зависимость логарифма интенсивности смертности от возраста лабораторных
крыс
Рассчитано и построено на основании таблицы выживания 2113 самцов крыс линии
Wistar, опубликованной в работе [Schlettwein-Gsell, 1970]. При расчете интенсивности
смертности был выбран 50-дневный возрастной интервал
Рис. 4. Зависимость логарифма интенсивности смертности от возраста лабораторных
крыс; теоретическая зависимость для случая нормального распределения продолжительности жизни (пунктир)
Рассчитано и построено на основании таблицы выживания 2050 самок крыс линии
Вистар. опубликованной в работе [Schleitwein-GseU, 1970]. При расчете интенсивности
смертности был выбран 50-дневный возрастной интервал
Разумеется, коэффициент корреляции является не самой лучшей
мерой линейности изучаемой зависимости, поскольку его отличие от
единицы может быть связано как со случайным разбросом данных,
так и с систематическими отклонениями от линейности. Для большинства таблиц выживания лабораторных животных характерны низкая исходная численность популяций (менее 1000 особей) и, как
следствие, большой статистический разброс данных. В этих условиях
коэффициент корреляции между логарифмом интенсивности смертности и возрастом будет небольшим даже при чисто случайном
характере отклонений от закона Гомперца. Следовательно, для
проверки законов смертности на данных с большим статистическим
разбросом необходимо использовать другие методы и показатели.
В 1979—1980 гг. был предложен метод проверки адекватности
законов смертности по неточным данным [Гаврилов, 1980; Гаврилова
и др., 19791. Применительно к формуле Гомперца метод состоит в
следующем. Если распределение продолжительности жизни действительно описывается данной формулой, то зависимость логарифма
интенсивности смертности от возраста должна быть линейной. В этом
52

Таблица 4
Характеристики распределения продолжительности жизни
Drosophila melanogasler*
Исходная
численность
популяции

<< Предыдущая

стр. 10
(из 45 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>