<< Предыдущая

стр. 36
(из 45 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

213

интенсивность деструкции и индуцированная интенсивность смертности, которые растут с увеличением числа уже имеющихся дефектов. В первом приближении можно считать, что эти интенсивности
прямо пропорциональны числу дефектов, так что для организма с п
дефектами индуцированная интенсивность деструкции равна nk, a
индуцированная интенсивность смертности — лц.
С учетом сделанных предположений и обозначений схема цепного
лавинообразного разрушения организма имеет следующий вид, изображенный на рис. 56.
Этой схеме соответствует система дифференциальных уравнений:

Аналогичная система уравнений (без учета фоновой интенсивности
смертности) была получена и решена в математической модели,
связывающей выживаемость организмов с повреждением хромосом
[LeBras,1976].
Если в начальный момент времени число дефектов в организме еще
равно нулю, то доля организмов с 0, 1, 2, ..., п ... дефектами меняется
со временем в соответствии с формулами

В случае, когда число дефектов может расти неограниченно, зависимость числа выживших от возраста определяется следующим
образом:

214

Возвращаясь к исходным переменным, получаем

В частном случае, когда скорость размножения дефектов оказывается существенно больше индуцированной интенсивности смертности (\ » ti), рост интенсивности смертности на начальном этапе
(при небольших значениях х) описывается законом Гомперца—
Мейкема:

Модель цепного лавинообразного разрушения организма позволяет не только теоретически обосновать известный закон Гомперца—Мейкема, но и объяснить, почему значения параметра А
иногда оказываются отрицательными. Действительно, в рамках данной модели параметр А является заниженной оценкой фоновой
интенсивности смертности (p.o) на величину, равную R (см. выше).
Поэтому если фоновая интенсивность смертности Цо невелика (для
населения развитых стран и в популяциях лабораторных животных),
а величина параметра R значительна (при большой фоновой интенсивности деструкции ^.о), то параметр А может оказаться отрицательным.
Другое важное достоинство модели цепного лавинообразного
разрушения организма состоит в том, что она правильно предсказывает отклонения от закона Гомперца—Мейкема в старших
возрастах в сторону меньших значений смертности. В этом крайнем
диапазоне возрастов интенсивность смертности растет по закону:

Таким образом, модель предсказывает асимптотический рост
интенсивности смертности с верхним пределом, равным Цо + Хо.
Сопоставляя этот вывод с данными по кинетике выживания долгожителей, можно определить, что для человека \у составляет примерно 0.5—1,0 год˜1. Величина \ для человека составляет 0,05—
0,12 год"1, а ц. = 10˜6—10"7 год"' (оценки сделаны на основании типичных значений R и а для человека).
215

Наряду с перечисленными достоинствами модель цепного лавинообразного разрушения организма имеет один существенный
недостаток; она не согласуется с известной закономерностью, названной компенсационным эффектом смертности (см раздел 4.5 книги)
Хотя модель и предсказывает обратную связь между параметрами
R и а при варьировании параметра \ (скорости размножения дефектов), эта зависимость имеет несколько иной вид.
1п(/?) == 1п(цХо) - ln(a - ц).
Таким образом, данная конкретная версия модели цепного лавинообразного разрушения организма, к сожалению, количественно не
согласуется с компенсационным эффектом смертности и, следовательно, нуждается в существенной доработке Тем не менее, по
нашему мнению, идея цепного разрушения организма является одной
из наиболее перспективных в математическом моделировании продолжительности жизни
6.5. МОДЕЛЬ МНОГОКРАТНО РЕЗЕРВИРОВАННОЙ
СИСТЕМЫ,
НАСЫЩЕННОЙ ДЕФЕКТАМИ
В данном разделе будет показано, что экспоненциальный характер
роста интенсивности смертности организмов и другие закономерности смертности естественным образом вытекают из простейшей
надежностной модели и ряда принципиальных особенностей биосистем, Первая особенность состоит в том, что в отличие от
технических устройств, которые собирают из заранее изготовленных
и проверенных деталей, организм формируется сам в процессе
онтогенеза путем самосборки из вновь образующихся и никем не
проверяемых элементов (клеток) Вторая особенность организма —
высокая степень миниатюризации составляющих элементов (микроскопические размеры клеток, а также молекулярные размеры
информационных носителей — ДНК и РНК), что позволяет создать
огромную избыточность по числу элементов Таким образом, следует
ожидать, что для живых организмов, в отличие от многих технических устройств, надежность системы обеспечивается не высоким
исходным качеством всех элементов, а их огромным числом Как
будет показано, именно эта особенность организмов позволяет
объяснить, почему интенсивность смертности растет с возрастом по
экспоненциальному, а не по степенному закону, а также понять
другие закономерности смертности
На рис 57 приведена схема, более подробно поясняющая причины
возникновения существенных различий между техническими устройствами и биологическими системами Принципиальное различие в
способе формирования системы (сборка в случае технических
устройств и самосборка в случае биосистем) приводит к двум важным
следствиям. Во-первых, к макроскопичности технических устройств
216


Рис. 57. Схема, поясняющая возможные причины существенных различий между техническими устройствами и биологическими системами
по сравнению с биосистемами, поскольку эти устройства собираются
"сверху" с участием макроскопической системы (человек) и должны
быть удобны для эксплуатации той же макроскопической системой
(т.е. соизмеримы с человеком). Биосистемы, напротив, собираются
"снизу" из молекул и клеток, что обеспечивает исключительно
высокую степень миниатюризации составляющих элементов Вовторых, при сборке технических устройств под контролем человека
возможности предварительной проверки элементов несоизмеримо
выше. чем при самосборке биосистем, что должно приводить к более
высокой "засоренности" биосистем дефектными элементами. В результате надежность технических устройств может быть обеспечена
высоким качеством элементов при жесткой экономии их числа (рис
217


Рис 58 Сравнение принципиальных блок-схем технических устройств и живых организмов
На схемах представлены последовательно соединенные блоки, состоящие из
параллельно соединенных элементов (использованы терминология и обозначения.
принятые в теории надежности)
а — принципиальная блок-схема технических устройств Все элементы технических
устройств, как правило, работоспособны в начальный момент времени Степень
резервирования невелика ввиду ограничений по размерам и стоимости системы, б —
принципиальная блок-схема живых организмов, х — дефектный элемент Благодаря
высокой степени миниатюризации элементов возможна высокая степень резервирования системы, обеспечивающая ее высокую надежность, даже если большинство
элементов исходно неработоспособно
58, а), а надежность биосистем, наоборот, легче обеспечить путем
исключительно высокой степени резервирования (рис 58, б) Следует
также отметить, что в основе индивидуальной неповторимости
биосистем, которой так восхищаются биологи, может лежать насыщенность системы дефектами, образующими неповторимый узор
конкретных повреждений На эту мысль наводит и опыт эксплуатации
полуразрушенной вычислительной техники поведение таких
устройств невозможно охарактеризовать, не прибегая к таким чисто
человеческим понятиям, как характер, причуды и смена настроения
изучаемого объекта Как будет показано ниже, подобные представления можно с успехом использовать для построения математической модели продолжительности жизни
Для лучшего понимания предлагаемой модели рассмотрим сначала частный случай, когда все элементы системы исходно работоспособны и имеют постоянную интенсивность отказов, равную k
Если эти нестареющие элементы организованы в блоки из п взаимозаменяемых элементов так, что отказ блока наступает лишь при отказе
всех элементов блока (параллельное соединение в смысле теории
надежности), то интенсивность отказа блока Ць(п, k, х) зависит от
218


Таким образом, интенсивность отказов блока сначала растет с
возрастом по степенному закону (закон Вейбулла), а затем темпы
роста уменьшаются, и она асимптотически стремится к верхнему
пределу интенсивности отказов, равному k Здесь следует обратить
внимание на два существенных момента Во-первых, блок, построенный из нестареющих элементов, ведет себя уже как стареющий
объект, т е старение является прямым следствием резервирования
системы (ее избыточности по числу элементов) Во-вторых, при очень
больших возрастах феномен старения исчезает одновременно с
исчезновением избыточности по числу элементов интенсивность
отказов приближается к верхнему пределу, совершенно не зависящему от исходного числа элементов, но совпадающего с их
постоянной интенсивностью отказов (k)
Если система, в свою очередь, построена из т незаменимых блоков
так, что отказ любого из них ведет к отказу всей системы (последовательное соединение блоков в смысле теории надежности), то
интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов
всех блоков

Разобранная выше надежностная модель приводит не к экспоненциальному, а к степенному закону роста интенсивности отказов с
возрастом Поэтому подобная модель долгое время представлялась
непригодной для описания экспоненциального роста интенсивности
смертности биологических систем и основное внимание было уделено поиску более сложных сценариев разрушения типа модели
лавинообразного разрушения, описанной в разделе 6 4
В данном разделе будет показано, что описанная выше надежностная модель была незаслуженно отвергнута лишь потому, что она
строилась на анализе исходно идеальной структуры, когда все
элементы исходно работоспособны Как уже отмечалось, подобное
предположение может быть оправдано для технических устройств,
но не для живых организмов, насыщенных дефектами Поэтому
следует рассмотреть другой частный случай модели, когда исходно
работоспособные элементы встречаются очень редко с малой вероятностью q В этом случае распределение блоков в организме по
числу ; содержащихся в них исходно работоспособных элементов
описывается законом Пуассона с параметром \ = nq, соответствующим
среднему числу исходно работоспособных элементов в блоке Строго
219

говоря, это распределение должно быть усечено справа, поскольку
число работоспособных элементов (i) не может превышать их общего
числа (л) в блоке. Кроме того, для исходно живых организмов это
распределение должно быть. усечено и слева, поскольку, согласно
модели, организм, содержащий блок без работоспособных элементов
(г = 0), не может быть живым. Поэтому распределение блоков по числу
i исходно работоспособных элементов внутри исходно живых
организмов задается следующими значениями вероятности Р,:

где с — нормирующий множитель, обеспечивающий равенство единице для суммы вероятностей всех событий. При достаточно больших
значениях п и Х нормирующий множитель оказывается лишь чуть
больше единицы.
Как уже отмечалось, интенсивность отказов системы, построенной
из т последовательно соединенных блоков, равна сумме интенсив-
ностей отказов этих блоков ц^, (("):

В свою очередь, интенсивность отказов блоков с i исходно работоспособными элементами равна:

Сопоставляя две приведенные выше формулы, получаем:

Таким образом, интенсивность смертности организма сначала (при
х « \lk) растет с возрастом экспоненциально (по закону Гомперца). а
затем темпы роста интенсивности смертности уменьшаются и она
асимптотически стремится к верхнему пределу интенсивности
220

смертности, равному mk. В случае существования фоновой компоненты смертности (А) мы приходим к известному закону Гомперца—
Мейкема.
Предложенная модель позволяет объяснить не только экспоненциальное увеличение интенсивности смертности с возрастом и
последующее замедление темпов ее роста, но также и компенсационный эффект смертности, описанный в разделе 4.5.
Действительно, согласно введенным обозначениям:
ln(7?) = \n(k'kcm) - \,
a=U,
т.е. величины 1п(/?) и а параметрически связаны через параметр X, что
позволяет представить In/? как функцию а:

Таким образом, компенсационный эффект смертности наблюдается
тогда, когда различия в смертности обусловлены межпопуляционными различиями по параметру \ (среднему числу исходно работоспособных элементов в блоке), а скорость старения (скорость
необратимой гибели элементов k) практически одинакова для всех
сопоставляемых популяций одного вида. При этом величина видовой
продолжительности жизни (\lk) оказывается равной среднему времени жизни элементов.
Из представленной модели также следует, что даже небольшой
успех в оптимизации процессов онтогенеза и увеличение вероятности q могут привести к резкому снижению смертности и росту
продолжительности жизни организмов. Это предсказание модели
хорошо подтверждается результатами анализа экспериментальных
данных, приведенными в разделе 5.3 данной книги.
Другое следствие предлагаемой модели — предсказание, что
большинство элементов системы (например, 99%) являются исходно
нефункциональными. Следует, однако, отметить, что проверка и
опровержение этого предсказания не означают ошибочности предлагаемой модели, поскольку большинство неработоспособных элементов (клеток) могло погибнуть к моменту формирования взрослого
организма. Фактически модель основана на предположении, что
распределение числа работоспособных элементов в блоках
описывается законом Пуассона, а судьба неработоспособных и их
гибель никак не вли-яют на выводы модели. Важно также отметить.
что выводы модели справедливы при любом, сколь угодно большом
значении параметра \. Это существенно, поскольку известно, что с
его ростом распределение Пуассона приближается к нормальному
закону распределения (Феллер, 1984). Таким образом, предложенная
модель фактически охватывает широкий спектр распределений
221

блоков по степени их резервирования, начиная от распределений с
ярко выраженной положительной (правосторонней) асимметрией
(при малых значениях X) до распределений, близких к симметричному нормальному распределению (при больших значениях X). Иными
словами, предложенная модель может быть названа также моделью
последовательно соединенных блоков с варьирующей степенью
резервирования. Эта достаточно общая модель будет еще более
обобщена в следующем разделе.
6.6. МОДЕЛЬ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ДЕФЕКТОВ
В предыдущем разделе была рассмотрена надежностная модель
системы, состоящей из т последовательно соединенных блоков, каждый из которых содержит по п параллельно соединенных элементов.
Было показано, что поведение этой системы решающим образом
зависит от начальных условий. Если система исходно идеальна, т.е.
если вероятность q для элементов быть исходно работоспособными
равна единице, то модель приводит к степенному закону роста
интенсивности смертности (закону Вейбулла). Если же, наоборот,
система с самого начала насыщена дефектами, и вероятность
элементов быть исходно работоспособными близка к нулю. модель
приводит к экспоненциальному закону роста интенсивности смертности (закону Гомперца). В обоих случаях, однако, существует
верхний предел роста интенсивности смертности, определяемый
произведением числа блоков (от) на интенсивность отказа элементов
(k). В данном разделе будет рассмотрен более общий случай, когда
вероятность элемента быть исходно работоспособным может
принимать любые положительные значения: 0 < q ^ 1.
В общем случае распределение блоков в организме по числу
исходно работоспособных элементов описывается не законом
Пуассона, а биномиальным распределением. Для исходно живого
организма это распределение должно быть усечено слева, поскольку,
согласно модели, организм, содержащий блок без работоспособных
элементов (i = 0) не может быть живым.
Поэтому распределение блоков по числу i исходно работоспособных элементов внутри исходно живых организмов задается следующими значениями вероятности Pi:

222

где с — нормирующий множитель, обеспечивающий равенство единице для суммы вероятностей всех событий.
Интенсивность отказов системы, построенной из т последовательно соединенных блоков, равна сумме интенсивностей отказов
этих блоков:

где хп =-'—i— параметр, который мы предлагаем называть начальным
v-
виртуальным возрастом системы. Действительно, этот параметр
имеет размерность времени и соответствует возрасту, в течение
которого исходно идеальная система накопила бы столько дефектов,
сколько реальная система уже имеет в начальный момент времени
(при х= 0). В частности, когда q = 1, т.е. когда все элементы исходно
работоспособны, начальный виртуальный возраст системы равен
нулю и интенсивность смертности растет с возрастом по степенному
закону (закону Вейбулла), что соответствует случаю, разобранному в
разделе 6.5. В случае же, когда система исходно не идеальна (q < 1),
мы приходим к так называемому биномиальному закону смертности,
впервые предложенному в 1986 г. и упомянутому в разделе 2.4
данной книги. Таким образом, предложенная здесь обобщенная
надежностная модель является теоретическим обоснованием
биномиального закона смертности.

<< Предыдущая

стр. 36
(из 45 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>